Combinatoria y autorreferencia

El destino oculto de un ecuatoriano, si el adagio latino in nomen omen fuera cierto, como se plante¨® la semana pasada, podr¨ªa ser ¡°aeron¨¢utico¡±, sorprendente anagrama de la palabra ¡°ecuatoriano¡±. Y si hablamos de un supuesto mensaje oculto en las letras de un nombre, no podemos dejar de mencionar el famoso anagrama despectivo que compuso Andr¨¦ Breton reordenando las letras de ¡°Salvador Dal¨ª¡±: ?vida Dollars. (?Podr¨ªas componer otros anagramas alusivos con las letras de algunos nombres famosos?).

En cuanto al ya cl¨¢sico acertijo de l¨®gica autorreferencial ¡°?Cu¨¢ntas letras hay en la respuesta correcta a esta pregunta?¡±, la respuesta ¡°oficial¡±, y la m¨¢s simple, es ¡°Cinco¡±. Por cierto, en una revista de cuyo nombre no quiero acordarme publicaron este acertijo con la respuesta ¡°cuatro¡±, lo que da pie a plantear el metaproblema de rigor: ?Cu¨¢l crees que fue la causa de que dieran una soluci¨®n tan absurda a un acertijo ampliamente conocido?

La respuesta ¡°Cinco¡± puede parecer ¨²nica, pero no lo es, y nuestro comentarista habitual Bretos Burs¨® da otras dos igualmente v¨¢lidas: ¡°La mitad de cuarenta y dos¡± y ¡°El doble de siete¡±. A las que podr¨ªamos a?adir, en la misma l¨ªnea, otras del tipo ¡°Hay exactamente veinte¡±. Y, por otra parte, tambi¨¦n son v¨¢lidas respuestas menos precisas pero no por ello incorrectas, como ¡°Menos de doce¡±.

La autorreferencia es una fuente inagotable de acertijos, paradojas y sorpresas. Y de algunos teoremas, como los de G?del. Y tambi¨¦n de ¡°trucos¡± (entre comillas, pues en realidad son juegos l¨®gicos), como el que consiste en apuntar algo en un papel y decirle a la v¨ªctima: ¡°He escrito una afirmaci¨®n que puede ser verdad o no. Si dices S? y lo que he escrito es cierto, ganas, si dices NO y lo que he escrito no es cierto, tambi¨¦n ganas, de lo contrario gano yo. Te apuesto diez contra uno a que gano yo¡±. E igualmente podr¨ªas apostar cien o mil contra uno, porque en el papel pone ¡°Vas a decir NO¡±.

Elementos agrupados y colegialas de paseo

Y si la autorreferencia es una fuente inagotable de sorpresas y quebraderos de cabeza, la combinatoria, nuestro otro tema recurrente de las ¨²ltimas semanas, no lo es menos. Como muestra, este problema propuesto por Ignacio Alonso:

?De cu¨¢ntas formas pueden agruparse siete elementos en siete grupos de tres elementos, si han de aparecer en el mismo n¨²mero de grupos y dos a dos solo en un grupo?

El de los siete elementos recuerda, de forma simplificada, al cl¨¢sico problema de las colegialas de Kirkman, propuesto en el siglo XIX por el matem¨¢tico ingl¨¦s Thomas P. Kirkman (que realiz¨® importantes contribuciones al an¨¢lisis combinatorio y a la teor¨ªa de grupos) y popularizado por ?douard Lucas en una de sus recopilaciones de ¡°recreaciones matem¨¢ticas¡±. El conocido como ¡°problema de las colegialas¡± dice as¨ª:

Quince colegialas salen de paseo todos los d¨ªas de la semana, de lunes a domingo, de forma ordenada, formando cinco filas de tres chicas cada una. ?C¨®mo tienen que planificar su colocaci¨®n en todos y cada uno de los d¨ªas de la semana para que ning¨²n par de colegialas compartan fila m¨¢s de un d¨ªa?

El problema no es sencillo. Sugiero abordar primero el de los siete elementos y pasar luego, para subir nota, al de las quince colegialas.

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