Hundido en el fango

Los tri¨¢ngulos is¨®sceles se suelen representar con el lado diferente como base, para que resulte m¨¢s evidente su simetr¨ªa axial. Pero si en nuestro is¨®sceles de la semana pasada usamos como base uno de los dos lados iguales del tri¨¢ngulo, es obvio que el de mayor ¨¢rea ser¨¢ el de mayor altura, es decir, el is¨®sceles rect¨¢ngulo. Por lo tanto, su tercer lado medir¨¢ 10¡Ì2 cm = 14,14 cm aproximadamente y el ¨¢rea m¨¢xima buscada ser¨¢ 50 cm?.

El problema del bote de cerveza, que ha suscitado un amplio debate entre los lectores (ver comentarios de la semana pasada), a primera vista no parece tener ninguna relaci¨®n con el del tri¨¢ngulo, y, sin embargo, requieren el mismo cambio de perspectiva, pues en ambos casos conviene ¡°tumbar¡± la figura correspondiente.

Imag¨ªnate que te dicen que el problema ya est¨¢ resuelto y, por tanto, en la lata queda la cantidad de cerveza para la cual el centro de gravedad est¨¢ lo m¨¢s bajo posible, ?c¨®mo puedes comprobar que es verdad? Muy sencillo: metes la lata (de pie) en el congelador y esperas a que la cerveza se solidifique. Luego apoyas horizontalmente la lata en equilibrio sobre un fulcro y con tu visi¨®n de rayos X (pero sin pasarte, para que la cerveza no se descongele) compruebas que el fulcro queda justo debajo de la superficie del l¨ªquido. Por lo tanto, el centro de gravedad es el centro de dicha superficie circular, y ese es su punto m¨¢s bajo posible. ?Por qu¨¦? Si a?adi¨¦ramos un poco de cerveza, la lata caer¨ªa hacia el lado vac¨ªo, que pesar¨ªa un poco m¨¢s, y, por tanto, el centro de gravedad estar¨ªa m¨¢s alto, y si quit¨¢ramos un poco de cerveza, la lata tambi¨¦n caer¨ªa hacia el lado vac¨ªo, pues ahora el lado lleno pesar¨ªa un poco menos, luego el centro de gravedad tambi¨¦n subir¨ªa; as¨ª pues, si tanto al a?adir como al quitar cerveza el centro de gravedad sube, quiere decir que est¨¢ en su punto m¨¢s bajo.

Ahora, con la lata horizontal en equilibrio, no es dif¨ªcil calcular la altura a la que se halla el centro de gravedad m¨¢s bajo. Despreciando el peso de las tapas (que por estar a distinta distancia del fulcro no inciden en el equilibrio de la misma forma), llamando a y b, respectivamente, a las longitudes de las porciones de la lata vac¨ªa y llena, V al peso de la lata vac¨ªa y P al peso de la lata llena, tenemos que:

a?V = b?P, de donde a/b = ¡ÌP/¡ÌV

Y como la lata pesa 9 veces m¨¢s llena que vac¨ªa a/b = 3, es decir, la cerveza ocupa 1/4 de la altura de la lata, y el centro de gravedad buscado est¨¢ a 5 cm de la base.

Vamos a comprobar, aplicando la ley de la palanca (el producto de la fuerza por la longitud de su brazo es igual en ambos lados), que la lata horizontal, llena hasta ese punto de cerveza, est¨¢ en equilibrio al apoyarla sobre un punto que dista 5 cm de la base:

La parte llena pesa 360/4 + 45/4 = 101,25 g y su centro de gravedad est¨¢ a 2,5 cm del fulcro. La parte vac¨ªa pesa 3 x 45/4 = 33,75 g y est¨¢ a 7,5 cm del fulcro, y puesto que 101,25 x 2,5 = 33,75 x 7,5 = 253,125, la lata est¨¢ en equilibrio.

Dadme un punto de apoyo¡­

Y hablando de la palanca, recordemos que Arqu¨ªmedes dijo, en referencia a su poder multiplicador de la fuerza: ¡°Dadme un punto de apoyo y levantar¨¦ el mundo¡±, pues una fuerza peque?a con un brazo largo puede levantar un gran peso situado cerca del fulcro. Y hay otras formas de multiplicar la fuerza jugando con la conservaci¨®n del trabajo, que e el producto de la fuerza por el espacio recorrido: con ayuda de distintos artilugios, como la palanca, una peque?a fuerza recorriendo un gran espacio puede convertirse en una gran fuerza que recorre un espacio peque?o, lo cual puede ser muy ¨²til en algunas ocasiones. Por ejemplo, si tu coche, mientras vas por un camino vecinal embarrado, se hunde en el fango y no hay forma de sacarlo por m¨¢s que empujes. Es una situaci¨®n muy irritante, pues bastar¨ªa con moverlo unos palmos para liberar las ruedas. Pero no te desesperes: tienes una cuerda larga en el maletero y hay ¨¢rboles cerca¡­ ?Qu¨¦ puedes hacer para salir del apuro?

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