Los bueyes de Newton y el reloj de Einstein

El problema tolstoyano de la semana pasada es un buen ejemplo de lo importante que es, para simplificar los c¨¢lculos, un enfoque adecuado (es decir, ad hoc). Si llam¨¢ramos, por ejemplo, x a la superficie del campo mayor e y al n¨²mero de segadores, obtendr¨ªamos un sistema de ecuaciones bastante engorroso, que Reyes Luelmo simplifica notablemente con su ingenioso planteamiento: ¡°1 segador x 1 d¨ªa es la unidad; el n¨²mero de segadores, n. El campo peque?o necesita n/2 x 1/2 d¨ªa + 1. El grande, n x 1/2 d¨ªa + n/2 x 1/2 d¨ªa m¨¢s. Y como el grande es el doble del peque?o,

2(n/4 +1) = n/2 + n/4, de donde n = 8¡å.

Y puestos a desempolvar problemas vinculados a grandes pensadores, veamos un par que despertaron el inter¨¦s de dos de los m¨¢s grandes f¨ªsicos de todos los tiempos: Isaac Newton y Albert Einstein.

Los prados de Newton

De los campos de Tolst¨®i a los prados de Newton.

En realidad, este problema atribuido a Newton es de origen popular, pero en su d¨ªa llam¨® la atenci¨®n del gran cient¨ªfico, que escribi¨® sobre ¨¦l (e ide¨® una variante que luego veremos), y desde entonces lleva su nombre:

Tres prados cubiertos de hierba de una misma espesura y con el mismo ritmo de crecimiento tienen las siguientes superficies: 3 hect¨¢reas y 1/3, 10 hect¨¢reas y 24 hect¨¢reas. La hierba del primer prado es comida por 12 bueyes durante 4 semanas, y la del segundo, por 21 bueyes durante 9 semanas. ?Cu¨¢ntos bueyes comer¨¢n la hierba del tercer prado durante 18 semanas?

Los problemas de prados y reses son tan abundantes como los de pastores y ovejas, y seguramente se remontan a los or¨ªgenes de la ganader¨ªa; pero este tiene la particularidad de que la hierba sigue creciendo mientras la comen. Por eso llam¨® la atenci¨®n de Newton, que en su Arithmetica Universalis propone la siguiente variante:

Sabiendo que 75 bueyes se han comido en 12 d¨ªas la hierba de un prado de 60 ¨¢reas y que 81 bueyes se han comido la hierba de un prado de 72 ¨¢reas en 15 d¨ªas, ?cu¨¢ntos bueyes se necesitan para comer en 18 d¨ªas la hierba de un prado de 96 ¨¢reas? Se supone que en los tres prados la hierba ten¨ªa la misma altura y que la hierba contin¨²a creciendo uniformemente.

Y si no has tenido bastante con los bueyes de Newton, puedes entretenerte con los innumerables toros de Arqu¨ªmedes revisitando una entrega del a?o pasado: El reba?o del Sol (3 3 2023).

El reloj de agujas deformables

En relaci¨®n con alguien que demostr¨® que el tiempo se estira y se contrae, nada m¨¢s adecuado que un problema en el que eso les ocurre a las agujas del reloj.

En cierta ocasi¨®n en que Einstein yac¨ªa en la cama enfermo, su amigo y bi¨®grafo A. Moshkovskii le propuso, para distraerlo, el siguiente problema:

Consideremos un reloj que marca las 12 en punto. Si en esta posici¨®n la aguja horaria y el minutero intercambiaran sus funciones (es decir, si la primera se alargara y la segunda se contrajera), la hora marcada ser¨ªa la misma; pero a otras horas, por ejemplo a las 6, ese intercambio dar¨ªa lugar a una situaci¨®n absurda, que nunca podr¨ªa producirse en un reloj que funcionara normalmente: el minutero no podr¨ªa estar en el 6 cuando la aguja horaria est¨¢ en el 12, como en el famoso ¡°Reloj blando¡± de Dal¨ª. Pero hay otros momentos, adem¨¢s de las 12 en punto, en que al intercambiar sus longitudes las agujas del reloj se producir¨ªan situaciones que s¨ª que pueden darse en un reloj que funciona normalmente (aunque solo si las agujas estuvieran superpuestas seguir¨ªa siendo la misma hora). ?Cu¨¢ntos y cu¨¢les son esos momentos de intercambiabilidad de las longitudes de las agujas del reloj?

Seg¨²n cuenta Moshkovskii, Einstein no necesit¨®, para resolver el problema, m¨¢s tiempo del que a ¨¦l le llev¨® formularlo. As¨ª que ya est¨¢s tardando¡­

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