El profesor Moster¨ªn analiza los interrogantes de la matem¨¢tica moderna

En el sal¨®n de Graus, de la facultad de Filosof¨ªa y Ciencias de la Educaci¨®n, el profesor Jes¨²s Moster¨ªn, autor de dos importantes obras, L¨®gica de primer orden y Racionalidad y acci¨®n humana, se ocup¨® ayer de la figura de Kurt Godel, el l¨®gico m¨¢s importante del siglo XX, que falleci¨® el a?o pasado. Godel naci¨® en 1906, en Brno (Checoslovaquia), estudi¨® en Viena y se doctor¨® en 1930. Al ocupar Austria los nazis, emigr¨® a Estados Unidos, donde fue profesor de la Universidad de Princeton. Para el profesor Moster¨ªn, la importancia de Godel radica en que dio pocas, pero rotundas y definitivas, respuestas a las interrogaciones de la matem¨¢tica moderna.Comenz¨® explicando que a finales del siglo pasado, con la aparici¨®n de las geometr¨ªas no euclidianas, empieza a vacilar el edificio aristot¨¦lico euclidiano de los axiomas matem¨¢ticos, lleg¨¢ndose a dudar de la verdad de los enunciados matem¨¢ticos. Para hacer frente a esta duda, sali¨® David Hilbert con su programa salvador, que consist¨ªa en la formalizaci¨®n rigurosa de todos los enunciados, en una explicitaci¨®n de los supuestos y teor¨ªas de todos los axiomas. Cada axioma se compondr¨ªa de una fila de signos, como el ajedrez dispone de sus figuras. Hilbert llam¨® a esta ciencia nueva matem¨¢tica, que tratara de filas de signos y de los sistemas formales. Estos signos tienen sus propiedades: la consistencia, la completitud y la no contradici¨®n. Ahora bien, lo que hay que probar es la consistencia absoluta de un axioma matem¨¢tico. Las dificultades para una formalizaci¨®n completa de las matem¨¢ticas surgieron en 1928, con la aparici¨®n del libro de Hilbert-Ackerman, en el que se expresaba la duda de si los c¨¢lculos deductivos pod¨ªan llegar a ser sem¨¢nticamente completos.

Pregunta inquietante a la que Godel, en 1930, respondi¨® afirmativamente, formulando el principio de completitud de los c¨¢lculos deductivos. Entonces rein¨® la euforia en la escuela de Hilbert y el dominio de la formalizaci¨®n pareci¨® extenderse a todas las ciencias y se crey¨® que se pod¨ªa sustituir la verdad por la demostratividad formal.

Esta galer¨ªa dur¨® poco, pues, en 1931, Godel prob¨® que es imposible formalizar la artim¨¦tica y que tampoco es posible probar la consistencia de esa formalizaci¨®n. ?C¨®mo lleg¨® Godel a estos resultados? Al convertir los signos en n¨²meros naturales. Adem¨¢s, prob¨® que todas las formulas matem¨¢ticas no se pueden demostrar a s¨ª mismas. As¨ª, terminaba el proyecto logicista inaugurado por Frege. Una gran l¨®gica se demostraba imposible, es decir, una l¨®gica suficientemente fuerte para que se pudiera, al interior de sus procedimientos, garantizar sus m¨¦todos. Sin embargo, esta relativizaci¨®n de los fundamentos de la matem¨¢tica no significa un fracaso, dice Desanti, sino una limitaci¨®n interna del formalismo l¨®gico. Los trabajos posteriores de Godel, en 1933, apoyan la tesis de Desanti, pues busc¨® la prueba de la consistencia relativa de las teor¨ªas matem¨¢ticas.

M¨¢s adelante, el profesor Moster¨ªn explic¨® c¨®mo Godel, en el transcurso de los a?os 1938-40, resolvi¨® genialmente el problema, arduo y dificultoso, de la teor¨ªa de los conjuntos y de la hip¨®tesis del continuo, demostrando la consistencia de ambas. En 1950 Godel recibi¨® el Premio Einstein, por su audaz formulaci¨®n de una teor¨ªa de la reversibilidad del tiempo, deducida de la relatividad general einsteniana.

La conferencia del profesor Moster¨ªn, que fue clara, rigurosa y t¨¦cnica, no hizo traspolaciones filos¨®ficas y se limit¨® al campo puramente l¨®gico de su discurso.