La sutil relaci¨®n de las matem¨¢ticas con la f¨ªsica

Las matem¨¢ticas, como muchas otras ciencias, viven hoy una situaci¨®n un tanto parad¨®jica.

Muchos de los problemas que actualmente se plantean y se est¨¢n resolviendo son tan complejos que las t¨¦cnicas y los detalles de las demostraciones parecen ser pr¨¢cticamente inaccesibles para muchos de los matem¨¢ticos profesionales. Este hecho lo hemos podido apreciar en algunas conferencias plenarias del Congreso Internacional de Matem¨¢ticos, como las magn¨ªficas charlas de Richard Hamilton sobre la conjetura de Poincar¨¦ o de Sorin Popa sobre ¨¢lgebras de Von Neumann. Sin embargo, a este proceso de especializaci¨®n, que es muchas veces inevitable, se opone un sano y esperanzador mestizaje: para resolver muchos de estos problemas, adem¨¢s de ser un especialista, hay que ser capaz de poner en relaci¨®n campos de las matem¨¢ticas que, aparentemente, est¨¢n alejados entre s¨ª. La demostraci¨®n de la conjetura de Poincar¨¦ utiliza t¨¦cnicas anal¨ªticas de ecuaciones en derivadas parciales, y parte de los problemas de la teor¨ªa de ¨¢lgebras de Von Neumann se pueden traducir en planteamientos acerca de la acci¨®n de grupos sobre espacios de probabilidad. Uno de los aciertos de la comisi¨®n en la elecci¨®n de los galardonados con las medallas Fields ha sido, precisamente, elegir a matem¨¢ticos que no tienen una visi¨®n compartimentada.

Un ejemplo m¨¢s de mestizaje es la simbiosis en la que, en parte, viven las matem¨¢ticas y la f¨ªsica. Es una relaci¨®n que tiene muchos siglos de tradici¨®n. David Hilbert, uno de los m¨¢s grandes matem¨¢ticos, plante¨® en 1900 el tratamiento matem¨¢tico de los axiomas de la f¨ªsica como uno de los problemas a los que los matem¨¢ticos del siglo XX tendr¨ªan que enfrentarse. En una de las conferencias de la secci¨®n de historia de la matem¨¢tica, Leo Corry nos ha mostrado el inter¨¦s permanente que Hilbert tuvo por casi todos los campos de la f¨ªsica de entonces. Otro ejemplo famoso es el art¨ªculo que en 1939 public¨® Eugen Wigner en la revista Annals of Mathematics y donde se clasifican todas las representaciones unitarias del grupo de Poincar¨¦, que es el grupo de simetr¨ªa de la relatividad especial. Este trabajo constituye una de las aportaciones fundamentales para entender el concepto de part¨ªcula elemental que se utiliza en la f¨ªsica te¨®rica. En el actual congreso hemos tenido ocasi¨®n de comprobar que la relaci¨®n entre f¨ªsica y matem¨¢ticas sigue siendo hoy tan importante como entonces. Tanto en la espl¨¦ndida conferencia plenaria de Percy Deift sobre el concepto de universalidad en matem¨¢ticas y en f¨ªsica, como en la laudatio de Wendelin Werner, uno de los galardonados con la medalla Fields, se han hecho presentes estas cuestiones. En la laudatio de Werner se insisti¨® en que las matem¨¢ticas no s¨®lo sirven para formular y probar de forma rigurosa afirmaciones con las que los f¨ªsicos trabajan, sino, adem¨¢s, son necesarias para profundizar conceptualmente en muchos aspectos de la f¨ªsica.

Estas reflexiones se?alan sucintamente algunas de las muchas perspectivas que se han abierto estos d¨ªas en el Congreso Internacional de Matem¨¢ticos en Madrid.

Fernando Lled¨® es doctor del Instituto de Matem¨¢tica Pura y Aplicada. Universidad de Aquisgr¨¢n, Alemania.