Una solitaria bola roja

Ya hay soluci¨®n para el desaf¨ªo matem¨¢tico extraordinario de Navidad presentado por EL PA?S y la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola con motivo del sorteo de la loter¨ªa. Dulcinea Raboso, doctora en Matem¨¢ticas por la Universidad Aut¨®noma de Madrid e investigadora posdoctoral en el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), present¨® el desaf¨ªo y nos da ahora la respuesta. Recordemos que el reto consist¨ªa en averiguar cu¨¢l era la probabilidad de que al sacar dos bolas de una caja en la que sabemos que no hay m¨¢s de 20, rojas o blancas, sean ambas rojas, sabiendo que la probabilidad de que sean ambas blancas es 1/2.

Y la soluci¨®n a nuestro desaf¨ªo es¡­ 0. Aunque dicho as¨ª, esta soluci¨®n pueda parecer chocante, lo es menos cuando abrimos la caja y descubrimos que tenemos 3 bolas blancas y solo una roja. De este modo, es claro que nunca podremos sacar dos -o m¨¢s- bolas rojas.

El problema es una modificaci¨®n de uno de Adri¨¢n Paenza, que este a?o ha sido galardonado con el premio Leelavati de la Uni¨®n Matem¨¢tica Internacional por su labor en la divulgaci¨®n de las matem¨¢ticas.

Se han recibido 635 contestaciones dentro del plazo marcado, alrededor de un 80% de ellas con la soluci¨®n correcta y una explicaci¨®n de c¨®mo lo han logrado. El ganador de una biblioteca matem¨¢tica y del libro Desaf¨ªos Matem¨¢ticos, una publicaci¨®n de SM ofrecida por cortes¨ªa de la RSME, ha sido Antonio Molano, cacere?o y de 62 a?os.

Antes de explicar la soluci¨®n, queremos destacar que se han recibido respuestas procedentes de m¨¢s de una decena de pa¨ªses. Tambi¨¦n nos han llegado varias de estudiantes de ESO, aunque no sabemos si alguno de ellos es alumno del ganador del desaf¨ªo, quien da clases de Secundaria en el IES Profesor Hern¨¢ndez Pacheco de C¨¢ceres.

Una situaci¨®n simple

Para entender bien el problema, podemos partir de la situaci¨®n m¨¢s simple que nos permitan nuestras hip¨®tesis. Los ¨²nicos datos de los que disponemos son que el n¨²mero de bolas rojas y blancas no es mayor que 20 y la probabilidad de dos blancas es 1/2.

Por ser esta probabilidad positiva -mayor que 0- es obvio que al menos debemos tener dos bolas de este color. Adem¨¢s, por ser menor que 1 debemos tambi¨¦n tener al menos una bola roja. En esta situaci¨®n, con tres bolas en total, tenemos dos posibles combinaciones al sacar dos bolas de la caja: o bien sacar las dos blancas o bien una roja y una blanca, pero en este ¨²ltimo caso tenemos dos opciones pues la roja se puede combinar con las otras dos. Tres casos, de los cuales, solo uno es favorable, de modo que la probabilidad ¨C casos favorables entre totales ¨C es 1/3, que es menor que 1/2, por lo que debemos aumentar la probabilidad de las bolas blancas.

Al a?adir una bola blanca, de modo que en total tenemos cuatro bolas, tres blancas y una roja, las combinaciones son las mismas, o dos blancas o una roja y otra blanca, pero la probabilidad cambia. Ahora tenemos tres maneras de sacar dos blancas (enumerando las bolas de ese color, 1-2, 1-3, 2-3) y otras tres para la combinaci¨®n roja-blanca (R-1, R-2, R-3). Seis casos, de los cuales, solo tres son favorables, y la probabilidad es 3/6, es decir, 1/2.

Esto demuestra que 3 bolas blancas y 1 roja satisfacen nuestras hip¨®tesis, y es imposible obtener dos rojas de la caja, de ah¨ª la probabilidad 0. Pero ?es esta la ¨²nica soluci¨®n? ?no podr¨ªa haber otra combinaci¨®n a?adiendo m¨¢s bolas?

Soluci¨®n general

Escribimos B para representar el n¨²mero de bolas blancas y T para el n¨²mero total de bolas. Recordamos que las hip¨®tesis de partida son:

T¡Ü 20 y P(dos bolas blancas)=1/2

Sacar de la caja dos bolas a la vez, o sacar una y luego otra, aqu¨ª es equivalente. En la primera extracci¨®n, tenemos B bolas blancas por lo que la probabilidad es B/T, mientras que en la segunda extracci¨®n tenemos B-1 bolas blancas de un total de T-1 bolas, entonces la probabilidad de dos bolas blancas es:

B(B-1)/T(T-1)

y despejando se tiene:

B(B-1)=T(T-1)/2

Es decir, buscamos que T(T-1)/2 sea producto de dos n¨²meros consecutivos.

Al dar valores a T -desde 2 hasta 20- se comprueba que la ¨²nica soluci¨®n es tomar T=4 (en esa situaci¨®n, que es la que hemos tratado antes, 3*2=6=4*3/2). Si queremos trabajar un poco menos, podemos observar que en realidad no es necesario comprobar todos los casos. Como la parte izquierda debe ser par, pues es producto de dos n¨²meros consecutivos (o bien B es par o bien B-1 lo es) entonces, la parte derecha tambi¨¦n debe serlo. Es obvio que T(T-1) es par, por la misma raz¨®n, pero el factor 1/2 obliga a que T(T-1) sea doblemente par. Por lo tanto, basta comprobar los m¨²ltiplos de 4 y sus consecutivos inmediatos, n¨²meros de la forma 4m o 4m+1 (pues no sabemos si el m¨²ltiplo de 4 es T o bien T-1).

Paramos en 20, pues esa era nuestra hip¨®tesis, pero si no tuvi¨¦ramos ese dato ?qu¨¦ ocurrir¨ªa? Por ejemplo, tomando T=21 podemos escribir 15*14=210=21*20/2, por lo que con 21 bolas, 15 de ellas blancas y 6 rojas, la probabilidad de sacar dos blancas ser¨ªa 1/2 y la de sacar dos rojas, 1/14. De hecho, se puede probar que existen infinitas soluciones a nuestro desaf¨ªo si no ponemos restricciones en el n¨²mero de bolas.

Las respuestas de los lectores

La mayor¨ªa de las respuestas correctas recibidas han demostrado que la ecuaci¨®n B(B-1)=T(T-1)/2 no tiene m¨¢s soluciones en las condiciones que da el desaf¨ªo que B=3, T=4 siguiendo esencialmente uno de estos tres procedimientos:

1. Comprobar, como hemos hecho nosotros y tambi¨¦n el ganador del sorteo, que para 2¡ÜT¡Ü20 la ¨²nica forma de que T(T+1)/2 sea producto de dos n¨²meros consecutivos es T=4, B=3.

2. Calcular (en ocasiones con ayuda de Maese Excel, como lo ha llamado Miguel Serrano) todos los valores de [B(B-1)]/[T(T-1)] para 2¡ÜB¡ÜT¡Ü20.

3. Resolver una ecuaci¨®n polin¨®mica de grado dos y ver cu¨¢ndo tiene soluciones enteras.

Pero algunos han sido m¨¢s originales. En particular varios lectores han transformado el problema en uno de encontrar ternas pitag¨®ricas, con la siguiente interpretaci¨®n geom¨¦trica: ?para qu¨¦ enteros 2¡ÜT¡Ü20 existe un tri¨¢ngulo rect¨¢ngulo con catetos T y T-1?

Y al menos tres de las soluciones, las de Julio Casti?eira, Arnau S¨¢nchez y Peter Taylor, han observado que el desaf¨ªo se pod¨ªa interpretar en t¨¦rminos de una ecuaci¨®n de Pell. Aunque no desarrollaremos m¨¢s esta idea, creemos que este es el camino m¨¢s sencillo (aunque no el m¨¢s elemental) para ver que, si no hubi¨¦semos impuesto la restricci¨®n T¡Ü20, el desaf¨ªo habr¨ªa tenido infinitas soluciones.

Respecto a las soluciones que no hemos considerado v¨¢lidas queremos se?alar algunas que casi estuvieron ah¨ª. Por un lado, quienes han tratado el problema como si hubiese muchas bolas, han llamado p a la probabilidad de sacar una bola blanca y han deducido que p^2=1/2, sin darse cuenta de que, al tratarse de pocas bolas, las probabilidades en la primera y la segunda extracci¨®n son muy distintas. Otro error ha sido suponer que la restricci¨®n de las 20 bolas se aplicaba a las de cada color, y no al total. Un tercer tipo son las soluciones que dec¨ªan directamente que la probabilidad es 0 porque la ¨²nica posibilidad era T=4, B=3, sin hacer ninguna referencia a la restricci¨®n T¡Ü20 (que, como hemos visto en la soluci¨®n, es importante) o dando un argumento incorrecto. Lamentablemente, dado que ped¨ªamos una justificaci¨®n, aunque han dado la probabilidad correcta no han podido entrar en el sorteo. Por ¨²ltimo, hay un grupo de estudiantes de ESO que, en lugar de darnos la probabilidad nos han dicho s¨®lo que T=4, B=3. Sus argumentos son totalmente correctos, pero no han contestado a la pregunta que se planteaba.

Aunque, como dec¨ªa Dulcinea Raboso en la presentaci¨®n, el problema era m¨¢s de probabilidad que de superstici¨®n, no queremos despedirnos sin desear mucha suerte a todos en el sorteo de Loter¨ªa Nacional. ?Muchas gracias por participar y feliz Navidad!