Remedio contra la melancol¨ªa

Teniendo en cuenta la limitaci¨®n impuesta por el reglamento de la FIDE, la partida de ajedrez m¨¢s larga posible constar¨¢ de tantas veces 50 jugadas (de ambos bandos) como movimientos de peones y capturas de piezas sean posibles.

Con los peones solo se pueden efectuar 48 movimientos por bando, y dentro de esos 96 movimientos tiene que haber 8 capturas de piezas por peones, pues de lo contrario los peones adversarios situados en una misma columna se bloquear¨ªan mutuamente. Las 6 piezas restantes y las 16 producidas por promoci¨®n de todos los peones ser¨¢n comidas al ritmo m¨¢s lento posible (una cada 50 jugadas) hasta que solo queden los dos reyes en el tablero. Por lo tanto, habr¨¢ un m¨¢ximo de 96+6+16=118 grupos de 50 jugadas, o sea, 118x50=5.900.

En la vida real, la partida m¨¢s larga conocida fue la que disputaron en 1989, en Belgrado, Ivan Nikolic y Goran Arsovic. Dur¨® 20 horas y 15 minutos, y termin¨® en tablas tras 269 jugadas.

Pero el tablero de ajedrez no es la ¨²nica ni la primera cuadr¨ªcula que, con su sencilla apariencia geom¨¦trica encubridora de abismos insondables, con su inagotable combinatoria, ha fascinado a los humanos.

El cuadrado m¨¢gico de orden 3 ya se conoc¨ªa en China en el III milenio a. C. con el nombre de Lo-Shu, pues seg¨²n la leyenda estaba grabado sobre el caparaz¨®n de una tortuga que surgi¨® del r¨ªo Lo. En una cuadr¨ªcula de 3x3 est¨¢n dispuestos los n¨²meros del 1 al 9 de forma que los de cada fila, columna y diagonal sumen lo mismo: 15 (que es la ¡°constante m¨¢gica¡± del cuadrado).

El segundo cuadrado m¨¢gico m¨¢s conocido es el que aparece en el famoso grabado de Durero titulado Melancol¨ªa, y es una cuadr¨ªcula de 4x4 en la que est¨¢n situados los n¨²meros del 1 al 16 de manera que los de cada fila, columna y diagonal principal sumen 34.Tambi¨¦n suman 34 las cuatro cuadr¨ªculas de 2x2 en las que se puede dividir el cuadrado, as¨ª como los n¨²meros de los v¨¦rtices, los cuatro n¨²meros centrales y los dos n¨²meros centrales de las filas o de las columnas primera y ¨²ltima; por esta raz¨®n el cuadrado m¨¢gico de Durero se denomina a veces sat¨¢nico o diab¨®lico (aunque en puridad los cuadrados diab¨®licos son los que conservan la constante m¨¢gica en las diagonales quebradas). Adem¨¢s, las dos cifras centrales de la ¨²ltima fila indican el a?o de realizaci¨®n del grabado: 1514. Durante el Renacimiento, los cuadrados m¨¢gicos se consideraban un talism¨¢n contra el ¡°humor negro¡± (la expresi¨®n no ten¨ªa el mismo significado que ahora); de ah¨ª que aparezca en un grabado sobre la melancol¨ªa.

Hay un solo cuadrado m¨¢gico de orden 3 (se consideran iguales los que se obtienen por rotaci¨®n o reflexi¨®n), 880 de orden 4 y 275.305.224 de orden 5. A medida que aumenta el orden de los cuadrados m¨¢gicos, su n¨²mero crece vertiginosamente; hay aproximadamente 1,8 x 10¹⁹ cuadrados m¨¢gicos de orden 6, y 3,8 x 10³⁴ de orden 7.

En principio, un cuadrado m¨¢gico de orden n se forma con los n² primeros n¨²meros naturales: el de orden 3 con los n¨²meros del 1 al 9, los de orden 4 con los n¨²meros del 1 al 16 y as¨ª sucesivamente; pero nada nos impide considerar otras posibilidades. Por ejemplo:

?Se puede formar un cuadrado m¨¢gico de orden n con cualesquiera n² n¨²meros consecutivos?

?Se puede formar un cuadrado m¨¢gico con los nueve primeros n¨²meros impares?

?Se puede formar un cuadrado m¨¢gico con n¨²meros primos?

?Se te ocurren otras variantes interesantes?

Carlo Frabetti

Escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York, ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯