El n¨²mero pi conecta por sorpresa la f¨ªsica cu¨¢ntica con las matem¨¢ticas

En la escuela nos ense?an que ¦Ð (pi), esa infinita constante matem¨¢tica que empieza por 3¡¯14, est¨¢ relacionada simplemente con arcos y c¨ªrculos, pero lo cierto es que los matem¨¢ticos est¨¢n m¨¢s que acostumbrados a ver esta constante en multitud de campos, como en el c¨¢lculo de la longitud de un r¨ªo. Ahora, unos expertos de la Universidad de Rochester (EE UU) han abierto una veta m¨¢s en las relaciones que este sorprendente n¨²mero tiene en la naturaleza, y no salen de su asombro.

Sus resultados, publicados hoy en la revista Journal of Mathematical Physics, han revelado que esta constante aparece en las f¨®rmulas asociadas a la mec¨¢nica cu¨¢ntica para el c¨¢lculo del estado energ¨¦tico de los ¨¢tomos de hidr¨®geno.

¡°Encontramos la cl¨¢sica f¨®rmula de Wallis sobre pi, descrita en el siglo XVII, en el campo de la mec¨¢nica cu¨¢ntica del siglo XX¡±, ha indicado en un comunicado Tamar Friedmann, profesora de matem¨¢ticas y coautora del estudio. La f¨®rmula de Wallis, desarrollada por el matem¨¢tico brit¨¢nico John Wallis en su libro Arithmetica Infinitorum (1656), describe a ¦Ð como el resultado de una serie infinita de fracciones de n¨²meros enteros.

La naturaleza se ha guardado este secreto durante 80 a?os¡± Tamar Friedmann, profesora de matem¨¢ticas y coautora del estudio

Todo comenz¨® con unas clases sobre f¨ªsica de part¨ªculas. Carl R. Hagen, uno de los seis f¨ªsicos que predijo la existencia del bos¨®n de Higgs y que imparte clases en la Universidad de Rochester, pidi¨® a sus alumnos que aplicaran?al ¨¢tomo de hidr¨®geno el m¨¦todo variacional, una t¨¦cnica usada para hacer c¨¢lculos aproximados de los estados de energ¨ªa de los sistemas cu¨¢nticos, esos objetos a escala at¨®mica cuyo comportamiento no se puede explicar con la f¨ªsica cl¨¢sica.

El m¨¦todo variacional se emplea con sistemas cu¨¢nticos en los que no se puede calcular su estado energ¨¦tico con precisi¨®n, como las mol¨¦culas. Pero el ¨¢tomo de hidr¨®geno es precisamente uno de los pocos sistemas cu¨¢nticos cuyos niveles de energ¨ªa se pueden calcular con exactitud con otras t¨¦cnicas, as¨ª que aplicar el m¨¦todo variacional servir¨ªa a los alumnos para ver los errores en su enfoque.

Cuando Hagen empez¨® a solucionar el problema, inmediatamente detect¨® una tendencia. El error del m¨¦todo variacional era de un 15% para el estado estable del hidr¨®geno, un 10% para el primer estado de excitaci¨®n y as¨ª sucesivamente. El margen de error se iba haciendo m¨¢s peque?o seg¨²n aumentaba el estado de excitaci¨®n del ¨¢tomo. Esto es algo inusual, ya que en teor¨ªa el m¨¦todo variacional solo da buenas aproximaciones para los niveles m¨¢s bajos de energ¨ªa.

El valor del estudio no reside en sus implicaciones o en su utilidad pr¨¢ctica, sino en su belleza y en su rareza"

David P¨¦rez, investigador del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT)

Hagen pidi¨® ayuda a su colega Tamar Friedmann y la investigadora descubri¨® que, al aumentar la energ¨ªa, el l¨ªmite del m¨¦todo variacional se acercaba al modelo de hidr¨®geno propuesto por el f¨ªsico dan¨¦s Niels Bohr a principios del siglo XX. Este modelo representa las ¨®rbitas del electr¨®n como perfectamente circulares.

¡°En los estados m¨¢s bajos de energ¨ªa, la trayectoria del electr¨®n es difusa y dispersa¡±, explica Hagen. ¡°En estados m¨¢s excitados, las ¨®rbitas se vuelven m¨¢s definidas y la incertidumbre en los radios de su ¨®rbita se reduce¡±.

Una gema inesperada

¡°Este art¨ªculo da una interpretaci¨®n preciosa de la f¨®rmula de Wallis en t¨¦rminos de las energ¨ªas que aparecen en el ¨¢tomo de hidr¨®geno¡±, explica David P¨¦rez, investigador del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT).

¡°El resultado es una peque?a gema que uno se encuentra en la investigaci¨®n cient¨ªfica. Como tal, su valor no reside en sus implicaciones o en su utilidad pr¨¢ctica, sino en su belleza y en su rareza¡±, indica P¨¦rez. ¡°Esta no es la primera vez que una teor¨ªa o f¨®rmula matem¨¢tica encuentra una interpretaci¨®n inesperada en la f¨ªsica. Pero eso no ocurre tantas veces, y menos a¨²n para conectar dos resultados tan antiguos y fundamentales como la f¨®rmula de Wallis, con m¨¢s de 350 a?os de antig¨¹edad, y los niveles de energ¨ªa del ¨¢tomo de hidr¨®geno¡±, a?ade.

La teor¨ªa de la mec¨¢nica cu¨¢ntica data de principios del siglo XX y la f¨®rmula de Wallis, de 1656, pero la conexi¨®n entre las dos se ha mantenido oculta hasta ahora. ¡°La naturaleza se ha guardado este secreto durante 80 a?os¡±, afirma Friedmann.