Pensamiento mec¨¢nico

Las soluciones num¨¦ricas del problema de las ocho damas, propuesto la semana pasada, han de cumplir la condici¨®n de que la diferencia entre dos d¨ªgitos cualesquiera no sea igual a la ¡°distancia¡± entre ellos, entendiendo por tal el n¨²mero de lugares que est¨¢n alejados el uno del otro, pues de lo contrario corresponder¨ªan a dos damas situadas en la misma diagonal.

Un despiste de ¨²ltima hora me llev¨® a colgar como ilustraci¨®n de portada la soluci¨®n en la que no hay tres damas alineadas. Sin contar giros y rotaciones, creo que es ¨²nica; su notaci¨®n num¨¦rica: 3584126 (recordemos que cada d¨ªgito indica la fila ocupada correspondiente a cada columna, de izquierda a derecha).

Para abarcar todo el tablero son necesarias y suficientes cinco damas. Una de las soluciones consiste en colocarlas en la diagonal del tablero de la forma 80654020 (los ceros corresponden a las columnas en las que no hay dama). En la figura vemos otra de las 4.860 soluciones posibles (85746000).

Cinco damas tambi¨¦n son suficientes para abarcar tableros de 9x9, 10x10 y 11x11 (aunque en este caso las casillas ocupadas no est¨¢n necesariamente a tiro de otras damas). Una soluci¨®n en el tablero de 11x11: 040X0602080 (la X representa la fila 10).

Puesto que no puede haber dos torres en una misma fila ni en una misma columna, es evidente que el m¨¢ximo n¨²mero de torres que podemos colocar en un tablero sin que ninguna amenace a ninguna otra es ocho. Para calcular todas las disposiciones posibles, empecemos situando una torre en la primera columna; tenemos 8 posibilidades, para cada una de las cuales tenemos 7 posibilidades al situar otra torre en la segunda columna, y para cada una de estas 8x7 parejas tenemos 6 posibilidades al situar la torre en la tercera columna¡­ El n¨²mero total ser¨¢, pues, 8x7x6x5x4x3x2x1, o sea, 8! = 40.320.

Tres sombreros blancos

Es interesante comparar el problema de las ocho damas con el an¨¢logo pero mucho m¨¢s sencillo de las ocho torres: en el segundo caso es f¨¢cil hallar una f¨®rmula que nos da el n¨²mero de soluciones para tableros de cualesquiera dimensiones, mientras que en el primer caso no es en absoluto as¨ª. Con algunos acertijos l¨®gicos aparentemente simples ocurre algo similar: se resisten a ser abordados pensando de forma lineal y mec¨¢nica, y requieren, para su resoluci¨®n, seguir procesos ramificados, reticulares o que incluyen curiosos bucles. Un ejemplo cl¨¢sico y relativamente sencillo (pero no os confi¨¦is) es el siguiente:

Un rey decide indultar a uno de los tres prisioneros que est¨¢n encerrados en las mazmorras de palacio. Los llama a su presencia y les dice: ¡°En este cofre hay tres sombreros blancos y dos negros. A cada uno de vosotros le pondr¨¢n uno de estos cinco sombreros, de modo que cada cual ver¨¢ los que llevan los dem¨¢s, pero no el que lleva ¨¦l mismo ni los que han quedado en el cofre. El que deduzca de qu¨¦ color es el sombrero que lleva y justifique su conclusi¨®n quedar¨¢ en libertad¡±. Tras unos instantes de reflexi¨®n, el primer prisionero afirma que no puede saber de qu¨¦ color es su sombrero, y el segundo dice lo mismo; y entonces el tercero dice: ¡°Mi sombrero es blanco¡±. ?C¨®mo lo sabe?