Borges en el jard¨ªn de los senderos que se bifurcan

La obra de Jorge Luis Borges, quien falleci¨® el 14 de junio de hace ahora treinta a?os, es una cima literaria universalmente reconocida. Tanto por la fuerza de su poes¨ªa, como por la originalidad y belleza de sus relatos. El Aleph, La Biblioteca de Babel y Funes el memorioso muestran claramente la fascinaci¨®n que sent¨ªa Borges por las matem¨¢ticas. Especialmente, por aquellas surgidas a partir de la llamada crisis de los fundamentos, cuando las bases de nuestra disciplina parecieron derrumbarse y qued¨® truncado el gran sue?o formalista de Hilbert, quien cre¨ªa que, a partir de unos axiomas, se podr¨ªa resolver cualquier pregunta bien formulada. Sin embargo, en aquella ¨¦poca se entendi¨® que cualquier sistema de axiomas posee zonas oscuras, en las que se pueden enunciar proposiciones cuya verdad o falsedad no es posible demostrar. De esta convulsi¨®n de principios del XX surgieron la teor¨ªa de conjuntos de Cantor, las paradojas de Russell y los cardinales infinitos, elementos clave en estos relatos de Borges.

Borges transcribe en sus historias esos escarceos con el infinito, y lo hace con un lenguaje barroco, bello y erudito; la paradoja de Aquiles persiguiendo a su tortuga a trav¨¦s de una infinidad no numerable de puntos y no alcanz¨¢ndola nunca; la correspondencia de una esfera, por peque?a que sea, con todo el universo; la perplejidad de un Funes capaz de recordar con precisi¨®n cada instante de su existencia; o la de un hacedor de mapas que representa cada nimio detalle del universo, incluido el mismo mapa que est¨¢ dibujando en ese momento. Pero quiz¨¢s sea la Biblioteca de Babel el m¨¢s conseguido de sus ¡°relatos matem¨¢ticos¡±:

¡°El universo (que otros llaman la Biblioteca) se compone de un n¨²mero indefinido, y tal vez infinito, de galer¨ªas hexagonales (¡­) Todos los libros, por diversos que sean, constan de elementos iguales: el espacio, el punto, la coma, las veintid¨®s letras del alfabeto¡­ (¡­) De esas premisas incontrovertibles dedujo que la Biblioteca es total y que sus anaqueles registran todas las posibles combinaciones de los veintitantos signos ortogr¨¢ficos, o sea todo lo que es dable expresar: en todos los idiomas. Todo: la historia minuciosa del porvenir, las autobiograf¨ªas de los arc¨¢ngeles, el cat¨¢logo fiel de la Biblioteca,¡­¡±

Este magn¨ªfico relato ilustra el concepto de n¨²mero normal, que es aquel cuyo desarrollo ¡°decimal¡± contiene cualquier sucesi¨®n de d¨ªgitos. En base 2, con las dos cifras 0 y 1, y con los 256 bytes de ocho cifras, podemos codificar los signos ortogr¨¢ficos y las letras del alfabeto. De manera que cada palabra se convierte en una sucesi¨®n de ceros y unos, y cada libro es una sucesi¨®n de palabras, as¨ª que se puede codificar de la misma manera. Por tanto, un n¨²mero normal en base dos contiene todos los libros en su desarrollo decimal. Es una realizaci¨®n de la Biblioteca de Borges en clave matem¨¢tica.

Borges transcribe en sus historias esos escarceos con el infinito, y lo hace con un lenguaje barroco, bello y erudito

Resulta f¨¢cil demostrar que casi todos los n¨²meros son normales en todas las bases, pero, hasta ahora, nadie ha podido se?alar uno concreto de ellos: ?es Pi un n¨²mero normal? Los matem¨¢ticos a¨²n no lo sabemos. En otros relatos Borges tambi¨¦n se hace eco de c¨®mo en el caso de conjuntos infinitos, el todo puede ser puesto en correspondencia con las partes, y cita a Bertrand Russell aludiendo al cat¨¢logo de todos los cat¨¢logos.

El continuo y sus aparentes paradojas es otro de los temas que fascin¨® a Borges. Escribi¨® ensayos en torno a las formuladas por Zen¨®n de Elea, pero tambi¨¦n sobre el tiempo y la teor¨ªa de los ciclos, o del retorno infinito. Sobre este tema fue su amigo Bioy Casares quien logr¨® el relato perfecto: ¡°La invenci¨®n de Morel¡±.

Pero Borges tambi¨¦n tiene ligerezas con las matem¨¢ticas. Con una cierta ingenuidad anal¨ªtica se extra?a de c¨®mo el punto (que no tiene dimensiones) puede dar lugar primero a l¨ªneas, luego a superficies y, finalmente, a vol¨²menes. Y echamos de menos que no tratara, con su prosa e imaginaci¨®n, otras grandes ideas de la l¨®gica matem¨¢tica: los hallazgos de Alan Turing sobre la computabilidad, de Kurt G?del y Paul Cohen sobre la indecibilidad y la hip¨®tesis del continuo respectivamente, o los resultados de Chaitin sobre la complejidad algor¨ªtmica.

Dentro de la teor¨ªa de conjuntos no repar¨® en los axiomas de Zermelo-Fraenkel y sus posibilidades literarias, cuando el primero de ellos, que asegura la existencia del conjunto vac¨ªo, la nada, ya fue previamente considerado por los m¨ªsticos y quietistas del siglo XVII. Miguel de Molinos, interpretando El G¨¦nesis, lleg¨® a la conclusi¨®n de que si Dios hizo el mundo de la nada, entonces el primer acto de la creaci¨®n debi¨® ser precisamente crear el conjunto vac¨ªo, o sea la nada. En versos de Antonio Machado:

Dijo Dios, sea la nada

Y alz¨® su mano derecha

Hasta ocultar la mirada

Quedando la nada hecha.

Antonio C¨®rdoba (ICMAT) es director del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas y Catedr¨¢tico de la Universidad Aut¨®noma de Madrid