Diagonales

Si al quitarle un elemento a un conjunto infinito A se convirtiera en un conjunto finito B, los elementos de B podr¨ªan ponerse en correspondencia de uno a uno con una sucesi¨®n finita de n¨²meros naturales, digamos del 1 al n; por lo tanto, al devolverle a A el elemento quitado, podr¨ªamos ponerlo en correspondencia con los n¨²meros del 1 al n+1, luego A no ser¨ªa infinito.

Con todos los conjuntos finitos de n¨²meros naturales podemos hacer lo mismo que hicimos con todas las parejas posibles: ordenarlos de menor a mayor seg¨²n la suma de sus miembros; por lo tanto, son numerables (ver las dos columnas anteriores).

Pero si consideramos tambi¨¦n los conjuntos infinitos, la cosa cambia. El conjunto de todos los conjuntos de n¨²meros naturales, incluidos los conjuntos infinitos, se denomina ¡°potencia de N¡± o P(N), donde N es el conjunto de los n¨²meros naturales, y P(N) no es numerable. Raymon Smullyan lo ilustra de la siguiente manera:

Imaginemos un libro con infinitas p¨¢ginas numeradas: 1, 2, 3, 4¡­, en cada una de las cuales se describe un conjunto de n¨²meros naturales. ?Pueden estar en el libro todos los conjuntos posibles? No, y para demostrarlo basta con encontrar un conjunto que no puede estar en el libro. ?Se te ocurre alguno?

De lo anterior se desprende que el proyecto del empadronador del mundo de infinitos habitantes no es viable, pues dar a cada club posible el nombre de un habitante equivale a numerar el conjunto de todos los conjuntos de n¨²meros naturales.

Aunque en la columna anterior no se habla de Cantor, ¨¦l fue quien demostr¨®, mediante su famoso ¡°m¨¦todo diagonal¡±, que los irracionales no son numerables (ver Hasta el infinito y m¨¢s all¨¢), y todas las demostraciones que hemos visto luego son variantes de su m¨¦todo.

La diagonal del cuadrado

Y hablando de diagonales, la aparentemente inofensiva diagonal del cuadrado provoc¨®, hace unos 2.500 a?os, una conmoci¨®n comparable a la de la diagonal de Cantor.

Los pitag¨®ricos cre¨ªan que los n¨²meros que no eran enteros eran fraccionarios, o lo que es lo mismo, racionales; es decir, que se pod¨ªan expresar mediante una fracci¨®n, que es el cociente o raz¨®n de dos n¨²meros enteros. Pero Hipaso de Metaponto demostr¨® que la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 no pod¨ªa expresarse mediante una fracci¨®n: era un n¨²mero ¡°irracional¡± (en el sentido de que no es la raz¨®n de dos enteros).

La demostraci¨®n de Hipaso era tan sencilla como ingeniosa, y no requer¨ªa m¨¢s conocimientos matem¨¢ticos que el teorema de su maestro Pit¨¢goras. ?Puedes reproducirla sin ayuda de internet?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯