?Existe el infinito?

Sea el n¨²mero 1 x 2 x 3 x 4¡­ x n, es decir, lo que en matem¨¢ticas se denomina ¡°factorial de n¡± y se representa as¨ª: n!; es evidente que n! es divisible por todos y cada uno de los n primeros n¨²meros, puesto que los contiene todos como factores, y por lo tanto n!+2 ser¨¢ divisible por 2, n!+3 ser¨¢ divisible por 3¡­ y n!+n ser¨¢ divisible por n. Tendremos, pues, n-1 n¨²meros consecutivos no primos (de n!+2 a n!+n), y como n puede ser tan grande como queramos, no hay l¨ªmite para la distancia a la que pueden hallarse dos primos sucesivos.

Y si los primos est¨¢n cada vez m¨¢s dispersos, son cada vez menos frecuentes, ?no llegar¨¢ un momento en el que no habr¨¢ ninguno m¨¢s? Pues no, el conjunto de los n¨²meros primos es infinito, y Euclides lo demostr¨® con un razonamiento muy similar al anterior. Supongamos que n es el mayor primo existente y consideremos el n¨²mero n!+1; puesto que n! es m¨²ltiplo de los n primeros n¨²meros, al dividir n!+1 por cualquiera de ellos dar¨¢ de resto 1, y por lo tanto solo hay dos posibilidades: o n!+1 es primo, o si es compuesto sus factores primos son mayores que n; por lo tanto n, por grande que sea, no puede ser el mayor primo, lo que equivale a decir que hay infinitos n¨²meros primos.

En cuanto al n¨²mero de libros escribibles, es finito (aunque, eso s¨ª, muy grande). Dada una lengua con n caracteres (incluido el espacio en blanco), una p¨¢gina est¨¢ndar de 2000 caracteres ¡°solo¡± se puede escribir de n²⁰⁰⁰ formas diferentes.

?Y el n¨²mero de cuadros pintables? Nadie ha contestado a esta pregunta, ni bien ni mal (curiosamente, en un centenar de comentarios no hay la menor alusi¨®n a esta cuesti¨®n), as¨ª que la dejaremos pendiente, puesto que vamos a seguir hablando del infinito.

??Hay algo realmente infinito?

Obviamente, el infinito existe como entelequia y como concepto matem¨¢tico. Pero cuando preguntamos si existe Dios no nos referimos a su existencia como idea, sino a algo m¨¢s real y operativo (por m¨¢s que se empe?e San Anselmo con su famoso argumento ontol¨®gico, la mera idea de Dios no implica su existencia real), y lo mismo cabe preguntarse con respecto al infinito. ?Hay algo realmente infinito en el mundo f¨ªsico? ?Es infinito el propio universo?

Y si el universo fuera infinito y homog¨¦neo (tan homog¨¦neo como un bizcocho en el que el hidr¨®geno es la harina, el helio el az¨²car y todo lo dem¨¢s las pasas, seg¨²n una vieja imagen popularizada por los cosm¨®logos), ?a qu¨¦ desconcertantes conclusiones podr¨ªamos llegar? Invito a nuestras sagaces lectoras y lectores a reflexionar sobre ello y a compartir sus conclusiones.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.