El japon¨¦s que resolvi¨® un gran problema matem¨¢tico y al que nadie entiende

Hace ahora cuatro a?os, en agosto de 2012, el matem¨¢tico japon¨¦s Shinichi Mochizuki salt¨® a la fama tras publicar en internet cuatro art¨ªculos de investigaci¨®n. Su trabajo en geometr¨ªa algebraica y sus aplicaciones a la teor¨ªa de n¨²meros resolv¨ªan aparentemente la llamada conjetura abc. Esta conjetura, enunciada por Joseph Oesterl¨¦ y David Masser en 1985, se refiere a n¨²meros enteros positivos a, b y c, primos relativos (es decir, que no tienen m¨¢s divisores comunes que el 1), que cumplen la ecuaci¨®n a + b= c (he aqu¨ª la raz¨®n para el nombre de la conjetura). ¡°En una versi¨®n simplificada, la conjetura afirma que si a y b son ambos divisibles por grandes potencias de n¨²meros primos, entonces c en general no lo es. La versi¨®n precisa cuantifica el n¨²mero de excepciones a este comportamiento general¡±, explicaba el matem¨¢tico Javier Fres¨¢n en un art¨ªculo publicado en enero de este a?o en este mismo diario.

Su complejidad reside en que mezcla las estructuras aditivas con las multiplicativas, y parte de su inter¨¦s est¨¢ motivado porque muchos teoremas y conjeturas en el campo de la teor¨ªa de n¨²meros se obtienen f¨¢cilmente si la conjetura abc es verdadera, entre ellos, el teorema de Fermat probado por Andrew Wiles. Por ello, el anuncio de Mochizuki abri¨® una gran expectaci¨®n en la comunidad cient¨ªfica.

Pero sus argumentos han resultado imposibles de comprobar para los especialistas. Mochizuki emplea una serie de ideas, m¨¦todos y nuevos objetos matem¨¢ticos que ¨¦l mismo denomin¨® Teor¨ªa Inter-universal Teichm¨¹ller (IUT), desarrollada casi en completo aislamiento durante 20 a?os y que resulta incomprensible para el resto de sus colegas. La comunidad no pod¨ªa aceptar ni rechazar su demostraci¨®n. La conjetura estaba en el limbo.

Pese a lo ex¨®tico de la situaci¨®n, el prestigio de Mochizuki, que es considerado un investigador de relevancia en el campo, dotaba de cierta credibilidad a sus aportaciones. Desde su publicaci¨®n en 2012 sectores de la comunidad matem¨¢tica realizan esfuerzos por entender su cr¨ªptico trabajo. El ¨²ltimo ha tenido lugar hace unas semanas en el Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS) de la Universidad de Kioto, donde trabaja Mochizuki. Del 18 al 27 de julio de 2016 se celebr¨® en la ciudad nipona el Inter-universal Teichm¨¹ller Theory Summit, un congreso que ha reunido a una cincuentena de especialistas de todo el mundo, con el objetivo de desentra?ar esta teor¨ªa, analizando sus principios, conceptos, objetos y demostraciones clave. El encuentro pretend¨ªa ¡°estudiar sus relaciones con las teor¨ªa existentes de otras ¨¢reas, para ayudar a que aumente el n¨²mero de expertos en el tema y puedan desarrollarse nuevas aplicaciones¡±, seg¨²n la organizaci¨®n.

Mochizuki emplea una serie de ideas y m¨¦todos desarrollados casi en completo aislamiento durante 20 a?os y que resultan incomprensibles para el resto de sus colegas. La comunidad no pod¨ªa aceptar ni rechazar su demostraci¨®n. La conjetura estaba en el limbo

Es la continuaci¨®n de un congreso que tuvo lugar a finales de 2015 en la Universidad de Oxford, financiado por el Instituto Clay de Matem¨¢ticas. Uno de los principales atractivos de este segundo congreso en Kioto ha sido la presencia de Mochizuki en la sala, a diferencia del congreso en Oxford, en el que se limit¨® a contestar preguntas por Skype. En esta ocasi¨®n ha presentado sus ideas y ha contestado las preguntas de los asistentes, abiertamente y con cercan¨ªa. Seg¨²n los asistentes, Mochizuki parece menos aislado que cuando empez¨® el proceso, y por lo general la valoraci¨®n es algo m¨¢s optimista que tras el encuentro anterior. Parece que por fin est¨¢n encontrando un camino para entrar en el laberinto de ideas y f¨®rmulas dise?ado por Mochizuki, centr¨¢ndose en algunos aspectos clave de su demostraci¨®n. Adem¨¢s, consideran que el esfuerzo merecer¨¢ la pena. Jeffrey Lagarias, experto en teor¨ªa de n¨²meros en la Universidad de Michigan en Ann Arbor, dijo a Nature que hab¨ªa llegado lo suficientemente lejos para ver que el trabajo de Mochizuki ¡°contiene ideas novedosas y revolucionarias¡±.

Eso s¨ª, mantienen su cautela. Pese a que parece que est¨¢n encontrando estrategias para avanzar, creen que se tardar¨¢ al menos tres a?os en saber si la demostraci¨®n de la conjetura abc es correcta o no. Incluso hay otros menos optimistas que ven el camino intransitable, sobre todo debido a la hetedoroxia de las aproximadamente 500 p¨¢ginas de demostraci¨®n a estudiar, y por la peculiar notaci¨®n que emplea Mochizuki en ellas, completamente alejada del resto de la bibliograf¨ªa matem¨¢tica. ¡°Las construcciones son generalmente claras, muchos de los argumentos se pueden seguir hasta cierto punto, pero la estrategia general sigue siendo totalmente escurridiza para m¨ª¡±, afirmaba el matem¨¢tico Vesselin Dimitrov (Universidad de Yale) a Nature. Parece que tenemos misterio para rato.

Manuel de Le¨®n y ?gata Tim¨®n son miembros del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.