Las paradojas de Eub¨²lides

En una pir¨¢mide escalonada con basamentos homog¨¦neos y de la misma altura, es evidente que cuanto m¨¢s abajo est¨¦ un basamento m¨¢s presi¨®n soportar¨¢; pero si la altura es cada vez menor, la presi¨®n puede ser la misma en cada nivel.

Imaginemos una pir¨¢mide escalonada cuyos basamentos son prismas rectos de base cuadrada. En la c¨²spide tenemos un cubo de 1 m de lado, con un volumen, por tanto, de 1 m³ y un ¨¢rea de la base de 1 m² (para simplificar supondremos que la densidad del material del que est¨¢ hecha la pir¨¢mide es 1, con lo que el peso es equivalente al volumen). Supongamos que el lado del segundo basamento mide1 m m¨¢s que el del primero, o sea, 2m; el ¨¢rea de su base ser¨¢ 4 m², y para que soporte la misma presi¨®n que la base del cubo de la c¨²spide, sobre ella habr¨¢n de haber 4 m³, y como el cubo tiene un volumen de 1 m³, el volumen del segundo basamento tendr¨¢ que ser 4 ¨C 1 = 3 m³, lo que significa que su altura tendr¨¢ que ser 3/4 m.

Siguiendo con el mismo razonamiento, obtenemos para los sucesivos basamentos orto¨¦dricos (cuyos lados son en cada nivel 1 m m¨¢s largos que en el nivel superior) las siguientes ternas volumen-¨¢rea-altura:

1?: 1-1-1, 2?: 3-4-3/4, 3?: 5-9-5/9, 4?: 7-16-7/16¡­

O sea que la altura (h) del en¨¦simo basamento empezando por arriba ser¨¢:

h = (2n-1)/n²

?Cu¨¢l ser¨¢ la altura m¨¢xima te¨®rica de esta pir¨¢mide escalonada de basamentos decrecientes?

En la pr¨¢ctica, la gravedad y otras circunstancias imponen l¨ªmites al crecimiento vertical, tanto de las construcciones artificiales como de las formaciones naturales. Por eso no puede haber monta?as mucho m¨¢s altas que el Everest¡­ ?O s¨ª? ?Y por qu¨¦ en Marte puede haber una monta?a (en realidad es un volc¨¢n apagado) como el Monte Olimpo, de 22 kil¨®metros de altura?

La paradoja del mont¨®n

A ra¨ªz de las reflexiones suscitadas por el problema de la pir¨¢mide escalonada, uno de nuestros lectores m¨¢s participativos, Francisco Montesinos, trajo a colaci¨®n el escurridizo (nunca mejor dicho) asunto de los montones de arena. Si dejamos caer al suelo un fino chorro de arena, ?formar¨¢ siempre el mismo tipo de mont¨®n y con la misma pendiente? ?Ser¨¢ el ¨¢ngulo de la pendiente del mont¨®n igual para granos de arroz o de trigo que para granos de arena? ?Qu¨¦ altura m¨¢xima pueden alcanzar estos montones?

Y al hablar de montones de arena es inevitable recordar la paradoja sorites o paradoja del mont¨®n, atribuida a Eub¨²lides de Mileto: si de un mont¨®n de arena vamos quitando granos uno a uno, ?en qu¨¦ momento dejar¨¢ de ser un mont¨®n? ?Y c¨®mo es posible que un solo grano marque la diferencia entre ser un mont¨®n y no serlo?

Por cierto, a Eub¨²lides se le atribuye tambi¨¦n la famosa paradoja del mentiroso; pero de esa nos ocuparemos en otra ocasi¨®n. Y espero que a mis amables lectoras y lectores no les ocurra lo mismo que a Filetas de Cos, del que se cuenta que, obsesionado con las paradojas de Eub¨²lides, se olvid¨® de comer y de dormir.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.