(Creemos que) Todos los n¨²meros est¨¢n en Pi

Cuando pregunto en clase sobre cu¨¢les son los n¨²meros naturales, alguno de mis chicos ha dicho en alguna ocasi¨®n algo como esto:

Pues los n¨²meros normales, los de toda la vida

Aunque decir que son ¡°los de toda la vida¡± incluso podr¨ªa ser una m¨¢s o menos buena descripci¨®n en un contexto informal (por algo se llaman ¡°naturales¡±), lo de llamarlo ¡°n¨²meros normales¡± no es acertado. Y no lo es porque en matem¨¢ticas un n¨²mero normal es otra cosa que posiblemente ellos, mis chicos, no lleguen a conocer nunca (a menos que lean este art¨ªculo o alg¨²n otro de lo que se pueden encontrar sobre este tema).

Y ¨¦sta es la cuesti¨®n que vamos a tratar hoy, los n¨²meros normales. Por ello, lo primero que vamos a hacer es dar una definici¨®n de este tipo de n¨²meros:

Un n¨²mero normal es un n¨²mero real que cumple que en su infinita expansi¨®n decimal todos los n¨²meros de una cifra aparecen con la misma frecuencia, todos los n¨²meros de dos cifras aparecen tambi¨¦n con igual frecuencia, y lo mismo ocurre con los de tres cifras, los de cuatro, etc. Es decir, los d¨ªgitos de dicho n¨²mero est¨¢n uniformemente distribuidos.

Ci?¨¦ndonos a base 10 (que es la base en la que nosotros solemos representar los n¨²meros), en un n¨²mero normal los d¨ªgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8 y 9 aparecen con una frecuencia de 1/10, las cadenas de n¨²meros 00, 01, 02, ¡­ ,09, 10, 11, 12, ¡­ , 99 lo hacen con frecuencia 1/100, y as¨ª sucesivamente (no nos meteremos en este art¨ªculo con otras bases de numeraci¨®n).

A partir de esta definici¨®n, es sencillo ver que en los d¨ªgitos de un n¨²mero normal podremos encontrar cualquier secuencia finita de n¨²meros, sea cual sea su extensi¨®n (evidente: si todas las de dicha extensi¨®n aparecen con la misma frecuencia, entonces todas aparecen alguna vez). Y como cualquier cosa puede codificarse como una secuencia num¨¦rica finita, entonces podemos decir que todo lo que conocemos y lo que conoceremos se encuentra dentro de un n¨²mero normal: tu fecha de nacimiento, el d¨ªa de tu fallecimiento, la pr¨®xima carta que alguien escribir¨¢ a la persona amada, el ganador del Nobel de Medicina del a?o pr¨®ximo o el libro (completo) que ser¨¢ l¨ªder de ventas dentro de 10 a?os. Todo eso, y todo lo que se os ocurra, se puede encontrar dentro de un n¨²mero normal.

Posiblemente esto es lo que motiv¨® que hace un tiempo se pusiera de moda en internet el siguiente meme relacionado con el n¨²mero Pi. En ¨¦l se dice, b¨¢sicamente, que como Pi es un n¨²mero con infinitos decimales y dichos decimales no tienen un patr¨®n de repetici¨®n entonces toda la informaci¨®n que existe y existir¨¢ puede encontrarse en Pi. Vamos, que dan a entender que el hecho de que Pi tenga infinitos decimales no peri¨®dicos (vamos, que sea irracional) implica que Pi sea normal¡­pero en realidad no se sabe si Pi es normal o no.

Que un n¨²mero irracional no tiene por qu¨¦ ser un n¨²mero normal se sabe desde hace tiempo, y es bastante sencillo construir n¨²meros irracionales que no son n¨²meros normales. Por poner un ejemplo, el n¨²mero 0¡¯101001000100001¡­, en cuya parte decimal vamos a?adiendo un cero m¨¢s despu¨¦s de cada 1, tiene infinitos decimales (lo hemos construido as¨ª) y no hay un patr¨®n de repetici¨®n en ellos. Por tanto, estamos antes un n¨²mero irracional que, evidentemente, no es un n¨²mero normal, ya que, por ejemplo, el 2 nunca aparece.

Por ello, que Pi sea irracional no nos asegura que sea normal, pero tampoco que no lo sea. Como dec¨ªamos antes, no se sabe si Pi es normal o no, pero se cree firmemente que Pi es un n¨²mero normal, ya que analizando much¨ªsimos decimales de Pi se ha visto que la frecuencia de aparici¨®n de los n¨²meros de un d¨ªgito es pr¨¢cticamente igual, que las de las cadenas de dos d¨ªgitos tambi¨¦n son esencialmente iguales, y que lo mismo ocurre con el resto de cadenas de d¨ªgitos. Pero, por desgracia, esto no nos sirve para darle a Pi la categor¨ªa de n¨²mero normal, ya que en matem¨¢ticas se necesita de una demostraci¨®n para asegurarlo (o descartarlo), y eso es precisamente lo que todav¨ªa nos falta a d¨ªa de hoy.

Pero Pi no es el ¨²nico n¨²mero irracional ¡°famoso¡± del que se cree que es normal. Tambi¨¦n ocurre con el n¨²mero e, con ¡Ì2 o con ln(2). Se piensa que son n¨²meros normales, pero de ninguno de ellos tenemos demostraci¨®n a favor o en contra de esta creencia.

Llegados a este punto, es razonable hacerse la siguiente pregunta: ?hay alg¨²n n¨²mero del que se sepa que es normal? Pues la respuesta es afirmativa: s¨ª, se conocen n¨²meros normales. Por ejemplo, el n¨²mero

0¡¯123456789101112131415¡­

construido concatenando los n¨²meros naturales en sus cifras decimales es un n¨²mero normal en base 10 (no se sabe si lo es en otras bases). Dicho n¨²mero se conoce como el n¨²mero de Champernowne, ya que fue David Champernowne quien demostr¨® su normalidad en su trabajo The construction of decimals normal in the scale of ten.

Tambi¨¦n es normal en base 10 (y, en este caso, en toda base b > 1) el conocido como n¨²mero de Copeland-Erd?s (hecho demostrado por Arthur Copeland y Paul Erd?s en 1946), que se obtiene concatenando en sus decimales todos los n¨²meros primos en base 10:

0¡¯2357111317192329¡­

De este ¨²ltimo hemos comentado que es normal en cualquier base. Como ya dijimos en los primeros p¨¢rrafos, no nos vamos a meter con otras bases de numeraci¨®n, pero s¨ª me parece interesante comentar que cuando un n¨²mero es normal en una base b se le suele llamar b-normal, y que cuando lo es en toda base b > 1 se le llama absolutamente normal.

No se conocen muchos m¨¢s ejemplos expl¨ªcitos, por lo que cabr¨ªa preguntarse por cu¨¢ntos n¨²meros normales existen. Bien, pues desde 1909 se sabe que hay una cantidad infinita no numerable de n¨²meros normales. Vamos, que hay much¨ªsimos m¨¢s n¨²meros normales que n¨²meros que no lo son (m¨¢s concretamente, casi todo n¨²mero real es normal). Esto, que fue demostrado por ?mile Borel, choca bastante con el hecho de que es muy complicado encontrar un n¨²mero normal. Se puede decir que los que se conocen han sido creados para ser normales. Adem¨¢s de los comentados, es interesante rese?ar que fue Waclaw Sierpinski quien dio el primer ejemplo de n¨²mero absolutamente normal en 1917, y que Ver¨®nica Becher y Santiago Figueira demostraron en 2002 que existen n¨²meros absolutamente normales computables (aunque no se conocen ninguno de sus d¨ªgitos¡­curioso, ?verdad?).

Durante todo el art¨ªculo, hemos estado hablando de n¨²meros irracionales. Pero, ?qu¨¦ ocurre con los racionales? ?Pueden ser normales? Pues la respuesta es negativa: ning¨²n n¨²mero racional puede ser normal, y es sencillo de demostrar. Si tiene una cantidad finita de decimales, es bastante claro que no puede serlo (habr¨¢ cadenas de n¨²meros que ni siquiera aparecer¨¢n). Y si tiene infinitos decimales, entonces tendr¨¢ un per¨ªodo, y esto hace que no todas las cadenas de una cierta cantidad de d¨ªgitos aparezcan con la misma frecuencia (por ejemplo, si el per¨ªodo tiene 5 d¨ªgitos, no todas las cadenas de 6 d¨ªgitos aparecer¨¢n con la misma frecuencia).

Descartados los racionales, si alguien se ha preguntado si existen n¨²meros irracionales que no sean normales en ninguna base le respondo: s¨ª, existen n¨²meros irracionales que no son normales en ninguna base, y se denominan n¨²meros no-normales o anormales. El primero fue encontrado por Greg Martin. Su trabajo, Absolutely abnormal numbers, puede verse aqu¨ª.

Otro resultado interesante sobre n¨²meros normales fue demostrado por Davenport y Erd?s en Note on normal decimals. Dicho resultado dice que si f(x) es un polinomio que da valores positivos para x=1, x=2, x=3, etc., entonces el n¨²mero 0¡¯f(1)f(2)f(3)¡­ es un n¨²mero normal. Esto nos lleva, por poner un ejemplo, a que el n¨²mero

0¡¯149162536496481¡­

que se obtiene concatenando los cuadrados de los naturales en los decimales es un n¨²mero normal (tomando f(x)=x²). Y lo mismo pasar¨ªa con

0¡¯11681256625¡­

que sale de concatenar las potencias cuartas.

Y, c¨®mo no, un tema as¨ª ten¨ªa que tener alguna conjetura asociada a ¨¦l. La m¨¢s interesante, sin duda, es la que nos dej¨® Borel. Dice lo siguiente:

Todo n¨²mero irracional algebraico es normal

Esto, que por ejemplo resolver¨ªa la duda de si ¡Ì2 es normal (lo ser¨ªa si la conjetura es cierta), a d¨ªa de hoy sigue sin respuesta.

Para quien quiera leer algo m¨¢s sobre el tema, recomiendo Normal numbers are normal. Y quien quiera jugar un poco, puede buscar cadenas de d¨ªgitos entre los primeros doscientos millones de d¨ªgitos de Pi en esta web. Por ejemplo, pod¨¦is buscar vuestra fecha de nacimiento y decirnos en los comentarios d¨®nde est¨¢ situada, a ver a qui¨¦n le aparece primero.