La Regla del Fin de los D¨ªas

Estamos en fechas prenavide?as (aunque para algunos centros comerciales ya era Navidad hace un mes), ¨¦poca en la que son habituales las reuniones familiares. Lo que os traigo hoy en este art¨ªculo es un m¨¦todo relativamente sencillo para calcular el d¨ªa de la semana en el que cae una fecha cualquiera. Con este m¨¦todo podr¨¦is amenizar estas reuniones y, por qu¨¦ no, dejar sin palabras a vuestro cu?ao (pasando entonces vosotros a ser el cu?ao). Este m¨¦todo es el conocido como Doomsday Rule, que en espa?ol suele traducirse como Regla del Fin de los D¨ªas o Regla del Fin del Mundo.

Este no es ni mucho menos el ¨²nico m¨¦todo que se conoce para calcular el d¨ªa de la semana, pero de los que conozco es el que considero m¨¢s sencillo de explicar y m¨¢s f¨¢cil de aprender. Y para que pod¨¢is aprenderlo, y entender bien todos los pasos, vamos a explicarlo poco a poco.

Comencemos recordando algo evidente que todos sabemos: si cierto d¨ªa es, por ejemplo, martes, 7 d¨ªas despu¨¦s volver¨¢ a ser martes (y lo mismo ocurre, claro est¨¢, para cualquier otro d¨ªa de la semana), 14 d¨ªas despu¨¦s ser¨¢ martes, al igual que 21 d¨ªas despu¨¦s, y 28, y en general cualquier m¨²ltiplo de 7 d¨ªas despu¨¦s. Por tanto, si sabemos en qu¨¦ d¨ªa cae una fecha concreta, podemos calcular f¨¢cilmente en qu¨¦ d¨ªas caen fechas m¨¢s o menos cercanas a ella: lo ¨²nico que tenemos que hacer es calcular cu¨¢ntos d¨ªas han pasado, quitarle el mayor m¨²ltiplo de 7 posible y contar despu¨¦s solamente los que nos han sobrado.

Pongamos un ejemplo para que se entienda mejor. Este a?o 2016, el 1 de noviembre fue martes. Sabiendo eso, es f¨¢cil calcular, por ejemplo, qu¨¦ d¨ªa fue el 19 de noviembre de este a?o: calculamos los d¨ªas que han pasado, 18, y le quitamos el m¨²ltiplo de 7 mayor posible, 14. Nos quedan 4, y esos son los d¨ªas que tenemos que contar a partir de nuestra fecha, que fue martes. Por tanto, el 19 de noviembre fue s¨¢bado (4 d¨ªas despu¨¦s).

Esto mismo es un m¨¦todo de c¨¢lculo del d¨ªa de la semana, pero tiene el gran problema de que cuando el n¨²mero de d¨ªas pasados desde la fecha que nosotros conocemos es muy grande, los c¨¢lculos pueden ser algo complicados de realizar. De hecho, contar cu¨¢ntos d¨ªas han pasado desde la fecha que nosotros sabemos tambi¨¦n puede ser un problema. Imaginaos que, sabiendo que el 1 de noviembre de 2016 es martes, os pido que calcul¨¦is en qu¨¦ d¨ªa caer¨¢ el 5 de abril de 2039. ?Cu¨¢ntos d¨ªas han pasado? Para contarlos hay que saber que una fecha concreta se desplaza un d¨ªa por cada a?o que pasa¡­si no es bisiesto, porque si lo es entonces se desplaza un d¨ªa antes del 29 de febrero y dos d¨ªas si la fecha es posterior¡­Vamos, que intentar hacer los c¨¢lculos con este m¨¦todo acaba siendo un foll¨®n.

Por cierto, ?cada cu¨¢ntos a?os aparece un a?o bisiesto? Pues cada cuatro a?os, ?verdad? ??Eeeeeeerroooor!! Como sabr¨¦is la gran mayor¨ªa, los a?os bisiestos existen para corregir el desfase que se produce en cada a?o normal, que dura 365 d¨ªas y un poquito La cuesti¨®n es que en 4 a?os no llegamos a juntar un d¨ªa entero con ese desfase, por lo que con cada bisiesto estamos, por decirlo de alguna forma, a?adiendo horas que no han pasado. Para corregir ese exceso, lo que se hace es no hacer bisiestos algunos a?os a los que les tocar¨ªa serlo. Concretamente, los a?os de final de siglo, lo que acaban en 00, s¨®lo son bisiestos si son tambi¨¦n m¨²ltiplos de 400. Es decir, el a?o 2000 fue bisiesto (2000=400 ¡¤ 5), pero el 2100 no lo ser¨¢, por no ser m¨²ltiplo de 400. Tampoco lo ser¨¢ el 2200 ni el 2300 (como no lo fue el 1900), pero s¨ª lo ser¨¢ el 2400 (porque 2400=400 ¡¤ 6).

Con los ingredientes que hemos dado, ya tenemos suficiente para comenzar a introducirnos en el m¨¦todo, que, como hemos comentado, se llama Doomsday Rule. Este m¨¦todo fue creado por John Horton Conway, quien lo public¨® en 1973 en el volumen 36 de la revista Eureka con el t¨ªtulo Today is the Day After Doomsday y, posteriormente, en el libro Winning Ways for Your Mathematical Plays, que escribi¨® junto a Elwyn R. Berlekamp y Richard K. Guy. En una primera lectura, el m¨¦todo puede pareceros algo lioso y complicado de aprender, pero os aseguro que, poniendo un poco de inter¨¦s, es muy sencillo de asimilar.

Conway observ¨® que, en un mismo a?o, hay varias fechas sencillas de recordar que caen siempre en el mismo d¨ªa de la semana. Esas fechas son el ¨²ltimo d¨ªa de febrero (28 si no es bisiesto y 29 si es bisiesto), el 4 de abril, el 6 de junio, el 8 de agosto, el 10 de octubre, el 12 de diciembre, el 9 de mayo, el 5 de septiembre, el 11 de julio y el 7 de noviembre. ?Sencillas de recordar? S¨ª. Mirad: ¨²ltimo d¨ªa de febrero, 4-4, 6-6, 8-8, 10-10, 12-12, 9-5, 5-9, 11-7 y 7-11. Al d¨ªa de la semana en el que cae el ¨²ltimo d¨ªa de febrero lo llam¨® doomsday del a?o, por lo que todos esos d¨ªas caen tambi¨¦n en el doomsday de ese a?o.

La clave entonces es calcular cu¨¢l es el doomsday del a?o en el que est¨¢ la fecha que queramos calcular, y a partir de ah¨ª contar hasta dicha fecha. Por ejemplo, si un a?o el doomsday es mi¨¦rcoles y queremos saber en qu¨¦ cae el 16 de abril, como el 4 de abril (4-4) es mi¨¦rcoles tendremos que el 16 de abril, 12 d¨ªas despu¨¦s, es lunes (12-7=5 y contamos 5 d¨ªas despu¨¦s del mi¨¦rcoles).

?C¨®mo podemos calcular el doomsday de un a?o en concreto? Para ello hay que empezar teniendo en cuenta dos cosas:

1.- Nos basamos en el calendario gregoriano, que comenz¨® en 1582. Por ello, para no liarnos m¨¢s de la cuenta, vamos a calcular fechas del a?o 1600 en adelante.

2.- El calendario gregoriano se repite cada 400 a?os. Es decir, si en 1743 el 1 de octubre fue martes, entonces el 1 de octubre de 2143 ser¨¢ tambi¨¦n martes, al igual que el 1 de octubre de 2543, y as¨ª sucesivamente.

Sabiendo esto, el primer paso va a ser calcular el doomsday del siglo al que pertenece nuestro a?o. Vamos a ir explicando cada paso y a la vez vamos a llevar un ejemplo: el 30 de abril de 1777, el d¨ªa del nacimiento de Carl Friedrich Gauss.

En vez de tomar los a?os acabados en 00 como los ¨²ltimos del siglo, los tomaremos como los primeros de siglo. As¨ª, para 16XX consideraremos el doomsday del a?o 1600, para 18XX el del 1800, etc. Como el calendario se repite cada 400 a?os, solamente tendremos que saber 4 doomsdays de siglo. La regla es como sigue: el doomsday de un 00 bisiesto es el martes; el del siguiente a un 00 bisiesto es domingo (cinco despu¨¦s), el del siguiente es viernes (cinco despu¨¦s); y el del siguiente es mi¨¦rcoles (cinco despu¨¦s); y despu¨¦s se repite. Tenemos entonces que en 1600 el doomsday fue martes, en 1700 domingo, en 1800 viernes, en 1900 mi¨¦rcoles, en 2000 martes, en 2100 ser¨¢ domingo, y el ciclo se sigue repitiendo. Por tanto, para nuestro ejemplo tenemos que el doomsday de siglo es domingo

Y ahora vamos a calcular el doomsday (recordad: el ¨²ltimo d¨ªa de febrero, el 4-4, el 6-6, etc) del a?o del que queremos calcular la fecha. Para ello podr¨ªamos contar el n¨²mero de a?os y sumar un d¨ªa por cada a?o pasado, pero habr¨ªa que tener en cuenta los bisiestos para sumar otro d¨ªa (o no, dependiendo de la fecha). Por ello usamos una simplificaci¨®n: si comenzamos en un bisiesto o uno que deber¨ªa serlo, como los 00, cada 12 a?os una fecha se desplaza solamente un d¨ªa. Esto es porque, comenzando en un 00, una fecha se desplaza 5 d¨ªas cada 4 a?os (un d¨ªa por cada a?o m¨¢s otro d¨ªa por el bisiesto que contendr¨¢ ese grupo de a?os). Por tanto, cada 12 a?os se desplazar¨¢ 15 d¨ªas, que en realidad es como desplazarse 1 d¨ªa (recordad lo de que las semanas tienen 7 d¨ªas).

Entonces comenzaremos contando cu¨¢ntas docenas de a?os han pasado desde nuestro 00 de referencia. En nuestro caso, como han pasado 77 a?os desde 1700, tenemos 6 docenas (12 ¡¤ 6=72, y la siguiente docena no se completa entera).

Ahora tomamos el n¨²mero de a?os que sobran desde esas docenas que calculamos antes (porque por cada a?o de m¨¢s hay que contar otro d¨ªa de desplazamiento). En nuestro ejemplo ser¨ªan 77-72=5 a?os.

Y ahora contamos cu¨¢ntos grupos de 4 a?os hay en ese sobrante calculado antes (para sumar el d¨ªa de m¨¢s de los bisiestos). En nuestro caso completamos 1 grupo de 4 a?os.

El desplazamiento del doomsday desde el 00 de referencia hasta el a?o en el que estemos calculando ser¨¢ la suma de las docenas, de los a?os sobrantes y de los grupos completos de 4 a?os. Por tanto, el desplazamiento del doomsday de 1777 (contado desde el ¨²ltimo d¨ªa de febrero de ese a?o) respecto del de 1700 es de 6+5+1=12 d¨ªas, que es lo mismo que desplazarse 5 d¨ªas (le quitamos el mayor m¨²ltiplo de 7 que podamos). Como el doomsday de 1700 fue domingo, el doomsday de 1777 fue viernes.

Y ahora buscamos entre las fechas que sabemos que caen el mismo d¨ªa que el doomsday y nos quedamos con la m¨¢s cercana a nuestro d¨ªa, y hacemos el c¨¢lculo mentalmente. En nuestro ejemplo, podemos tomar el 4 de abril, que por lo que hemos calculado fue viernes. Hasta el 30 de abril hay 26 d¨ªas, que da un desplazamiento de 26-21=5 d¨ªas. Contando desde el viernes, tenemos que el 30 de abril de 1777 fue mi¨¦rcoles.

Vamos a ver otro ejemplo: el 23 de febrero de 1855 (el d¨ªa del fallecimiento de Gauss). Si quer¨¦is, intentadlo vosotros antes de seguir leyendo:

- Doomsday del siglo: Viernes.

- Docenas: 4 (12 ¡¤ 4=48).

- A?os sobrantes: 7 (55-48).

- Grupos de 4 a?os: 1.

- Desplazamiento total desde el doomsday del siglo: 4+7+1=12, que son 5 d¨ªas.

- Doomsday de 1855: Viernes+5=mi¨¦rcoles.

- Como 1855 no fue bisiesto (al ser impar seguro que no lo fue), febrero tuvo 28 d¨ªas. Por tanto, el 28 de febrero fue mi¨¦rcoles, por lo que el 23 de febrero de 1855 fue viernes.

Y un ¨²ltimo ejemplo m¨¢s: el 18 de julio de 2116 (el d¨ªa en el que este blog, El Aleph, cumplir¨¢ 100 a?os). Vamos a ello:

- Doomsday del siglo: Domingo.

- Docenas: 1 (12 ¡¤ 1=12).

- A?os sobrantes: 4 (16-12).

- Grupos de 4 a?os: 1.

- Desplazamiento total desde el doomsday del siglo: 1+4+1=6 d¨ªas.

- Doomsday de 2116: Domingo+6=s¨¢bado.

- Tomamos el 11 de julio de entre las fechas conocidas y, como el desplazamiento al 18 son 7 d¨ªas, tenemos que el 18 de julio de 2116 ser¨¢ s¨¢bado. Aunque no nos tocar¨¢ publicar (lo hacemos los mi¨¦rcoles), ser¨¢ un buen d¨ªa para un art¨ªculo especial.

Para practicar, pod¨¦is probar vosotros mismos con cualquier otra fecha. Os dejo una web que calcula el d¨ªa de la semana de una fecha concreta para que comprob¨¦is si lo hab¨¦is hecho bien. Si ten¨¦is alg¨²n problema con el m¨¦todo, no ten¨¦is m¨¢s que dejar un comentario y os ayudaremos lo antes posible. Y si conoc¨¦is otros m¨¦todos para calcular el d¨ªa de la semana, tambi¨¦n pod¨¦is cont¨¢rnoslos en los comentarios.

Matem¨¢ticamente hablando, el c¨¢lculo del doomsday del a?o se hace de la siguiente forma:

expresi¨®n en la que y es el a?o de la fecha que queremos calcular y [¡­] simboliza la parte entera (al tratar s¨®lo con n¨²meros positivos, la parte entera es lo que queda al quitar los decimales). Por otro lado, a mod b es el resto de la divisi¨®n de a entre b (o, lo que es lo mismo, el n¨²mero que queda al restarle a a el mayor m¨²ltiplo de b posible).