El mono y los cocos

Sin necesidad de hacer una encuesta, ve¨ªamos la semana pasada que se puede asegurar que al menos dos comentaristas de El juego de la ciencia tendr¨¢n el mismo n¨²mero de colegas (independientemente de c¨®mo definamos el colegueo). La demostraci¨®n tiene que ver con el denominado principio del palomar: si tres palomas ocupan dos palomares, en un palomar habr¨¢ necesariamente m¨¢s de una paloma (generalizando, si m objetos ocupan n lugares y m>n, en al menos un lugar habr¨¢ m¨¢s de un objeto). El caso de los comentaristas y sus colegas no es tan evidente como el da las palomas y los palomares, pero podemos aplicar el mismo razonamiento: si hay n comentaristas, las posibilidades de colegueo de un comentarista oscilan, cuantitativamente, entre 0 (ning¨²n colega) y n-1 (todos los dem¨¢s comentaristas son colegas suyos); pero si alguien, digamos Antonio, no tiene ning¨²n colega, no puede haber alguien, digamos Berta, que sea colega de todos los dem¨¢s, pues entonces Berta tambi¨¦n ser¨ªa colega de Antonio, y este no tiene ning¨²n colega. Es decir, las posibilidades 0 y n-1 son mutuamente excluyentes, por lo que no hay n posibilidades (de 0 a n-1), sino n-1, y como hay n personas, al menos dos de ellas comparten palomar, es decir, n¨²mero de colegas. Si el 70 % de los hombres son feos, el 70 % son tontos y el 70 % son malos, ?cu¨¢ntos hombres, como m¨ªnimo, son a la vez feos, tontos y malos?

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Hay dos n¨²meros de tres cifras distintas de cero que son iguales a la suma de los cubos de sus cifras: 153=1³+5³+3³ y 371=3³+7³+1³. Si eliminamos la restricci¨®n de que las cifras sean distintas de 0, hay dos soluciones m¨¢s: 370 y 407. Y, por cierto, no har¨ªa falta decir que el n¨²mero ha de tener tres cifras, pues no hay soluciones para n¨²meros de m¨¢s o menos cifras (con la evidente excepci¨®n del 1, que es igual a su cubo, y del 0, si lo consideramos un n¨²mero).?

Pong¨¢monos diof¨¢nticos

La semana pasada un lector me acus¨® de ponerme diof¨¢ntico, y para hacer honor al adjetivo (que, record¨¦moslo, se aplica a las ecuaciones y problemas que solo admiten soluciones enteras), no tengo m¨¢s remedio que desempolvar un cl¨¢sico que probablemente sea el m¨¢s famoso acertijo de este tipo: el del mono y los cocos.

Cinco marineros naufragan y llegan a una isla desierta en la que el ¨²nico alimento disponible son los cocos. Recogen un mont¨®n y se van a dormir tras decidir repartirlos al d¨ªa siguiente. Pero por la noche uno de los marineros se despierta hambriento, divide los cocos en cinco partes iguales, ve que sobra un coco y se lo da a un mono que lo observa con curiosidad; luego se come su parte y vuelve a dormirse. Al cabo de un rato, un segundo marinero se despierta hambriento y hace lo mismo: divide los cocos que quedan (creyendo que son la totalidad de los que han recogido) en cinco partes iguales, ve que sobra uno y se lo da al mono, se come su parte y se acuesta de nuevo. Y lo mismo hacen sucesivamente los otros tres marineros. A la ma?ana siguiente, dividen los cocos que quedan en cinco partes iguales y no sobra ninguno. ?Cu¨¢ntos cocos recogieron, como m¨ªnimo, los n¨¢ufragos?

He respetado el planteamiento original (atribuido al escritor Ben Ames Williams) por su inter¨¦s documental; pero creo que habr¨ªa que sustituir los cocos por cacahuetes, por razones que comprender¨¦is al hallar la soluci¨®n.

Y una pregunta extramatem¨¢tica inspirada por la homonimia: ?podr¨ªa un mono muy listo, como la famosa gorila Koko, resolver un problema similar al de los cocos?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.