Desentra?ando la turbulencia

Llegar a comprender la naturaleza de los fen¨®menos turbulentos, desde sus primeros principios matem¨¢ticos, es un objetivo a la vez importante y ambicioso en el que todav¨ªa nos queda un largo camino por recorrer. La turbulencia est¨¢ detr¨¢s de los tornados, los huracanes, las mangas marinas, y entenderla es clave para predecir la evoluci¨®n de los frentes atmosf¨¦ricos. Hace poco ha sido resuelto uno de los problemas concretos que era un baluarte a conquistar en ese camino; as¨ª lo se?al¨® Lars Onsager (1903-1976), premio Nobel de Qu¨ªmica, muy conocido tambi¨¦n por sus trabajos mecano-estad¨ªsticos sobre las transiciones de fase en materiales ferromagn¨¦ticos, y autor de la conjetura que ahora se ha demostrado cierta. Seg¨²n este resultado, bajo ciertas condiciones pueden encontrarse soluciones a las ecuaciones de los fluidos que no conservan la energ¨ªa del sistema. Estas soluciones, que carecen de sentido f¨ªsico, nos ayudan a entender y mejorar los modelos matem¨¢ticos de la turbulencia.

La conjetura de Onsager se formula sobre las soluciones de las ecuaciones de Euler que describen la evoluci¨®n temporal del campo de velocidades de un fluido perfecto (incompresible, es decir, que no se puede comprimir, y sin fricci¨®n, inv¨ªscido), que fluye en el espacio tridimensional. Dichas ecuaciones expresan, en el lenguaje preciso del c¨¢lculo diferencial, las leyes de conservaci¨®n de la masa y del momento cin¨¦tico, implicando tanto a variaciones espaciales como temporales de la velocidad y de la presi¨®n, en unas relaciones (o ecuaciones) entre las derivadas parciales de esas magnitudes. Para completar el sistema, hay que incluir tambi¨¦n los datos iniciales, es decir, saber c¨®mo se encontraba el fluido en el momento preciso de comenzar la evoluci¨®n que deseamos entender. Sorprende que un sistema que consta de tan solo cuatro ecuaciones sirva para modelar algo tan complejo como es un fluido, lo que incluye a los movimientos de la atm¨®sfera y de los oc¨¦anos. Pero tambi¨¦n llama la atenci¨®n que sean tan dif¨ªciles y elusivas, debido a su naturaleza no lineal y no local: la presi¨®n en un punto dado depende de todo el fluido, y no solamente de lo que le est¨¢ cercano.

Cuando la velocidad y la presi¨®n, que son las inc¨®gnitas del sistema, resultan ser funciones suaves (diferenciables) sin picos ni discontinuidades, su significado f¨ªsico est¨¢ claro: marcan la evoluci¨®n del movimiento de un fluido que observamos en la naturaleza. Ocurre, no obstante, que aunque exijamos que la situaci¨®n del fluido en el momento inicial sea buena, es decir que la velocidad y la presi¨®n sean diferenciables, no podemos asegurar, ni mucho menos, que esa condici¨®n se mantenga en el futuro. Pero eso es consistente con nuestra experiencia cotidiana cuando hablamos, por ejemplo, del tiempo atmosf¨¦rico: una bonita ma?ana soleada puede venir sucedida por una tarde de tormenta. M¨¢s all¨¢ de las soluciones?suaves, en el siglo pasado se descubrieron las llamadas soluciones d¨¦biles o turbulentas, que son funciones no diferenciables (en muchos casos, ni siquiera continuas), que cumplen las ecuaciones del sistema en su versi¨®n integrada, que es otra manera de escribir esas mismas leyes de conservaci¨®n.

El car¨¢cter inv¨ªscido del fluido, no disipativo, implica que una soluci¨®n cl¨¢sica conserva la energ¨ªa cin¨¦tica. En otras palabras, esa magnitud se mantiene constante en el tiempo. Ah¨ª es donde surge la pregunta: ?La conservar¨¢n tambi¨¦n las soluciones turbulentas? Lars Onsager pens¨® profundamente sobre esta cuesti¨®n y vaticin¨® que la energ¨ªa se conservar¨¢ si la velocidad no presenta discontinuidades y su diferencia de valor en dos puntos del espacio, dividido por la ra¨ªz c¨²bica de la distancia que los separa, es una cantidad que tiende a cero cuando ambos puntos se aproximan. Pero se?al¨® tambi¨¦n que, en caso contrario, habr¨¢ soluciones de las ecuaciones de Euler que no conservan la energ¨ªa. El exponente 1/3, ra¨ªz c¨²bica, determina pues la disyuntiva de conservar o, en general, no conservar la energ¨ªa. La precisi¨®n del enunciado, dentro del elusivo mundo de la turbulencia, lo convirti¨® enseguida en un objetivo a conseguir.

La turbulencia est¨¢ detr¨¢s de los tornados, los huracanes, las mangas marinas, y entenderla es clave para predecir la evoluci¨®n de los frentes atmosf¨¦ricos

La parte positiva de la conjetura pudo demostrarse con instrumentos ¡°conocidos¡± del siglo pasado, y fue obtenida hace ya alg¨²n tiempo. Pero hubo que esperar a finales de 2016 para que Philip Isset, matem¨¢tico del MIT, demostrara que cuando esa ley de la ra¨ªz c¨²bica es violada, pueden efectivamente construirse soluciones turbulentas que no conservan la energ¨ªa. Estas soluciones contradicen leyes fundamentales de la f¨ªsica y por tanto muestran la necesidad, por ejemplo, de incluir m¨¢s ecuaciones en el sistema para que este sea un buen modelo matem¨¢tico de la naturaleza.

Casi tan interesante como el resultado en s¨ª, lo son las t¨¦cnicas introducidas para obtenerlo, y que hacen uso del concepto reciente de ¡°integraci¨®n convexa¡±. Son ideas novedosas en la mec¨¢nica de fluidos que tuvieron su origen en otras ¨¢reas de las matem¨¢ticas, y de la ingenier¨ªa de materiales compuestos (laminaciones), pero que est¨¢n echando luz sobre la naturaleza de las soluciones turbulentas de las ecuaciones de Euler y las asociadas ecuaciones cuasigeostr¨®ficas, que tienen en el ICMAT un centro importante de actividad.

Antonio C¨®rdoba es director del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas y Catedr¨¢tico de An¨¢lisis de la Universidad Aut¨®noma de Madrid. M¨¢s informaci¨®n: https://arxiv.org/abs/1608.08301

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.