Un genio matem¨¢tico con una muerte prematura

En la actualidad, las bases de las teor¨ªas matem¨¢ticas est¨¢n tan profundamente desarrolladas y estudiadas que no es f¨¢cil encontrar cosas nuevas y realmente rompedoras: se necesitan muchos a?os de estudio y trabajo para poder aspirar a descubrir algo nuevo. Por ello, es muy complicado que alguien joven pueda realizar descubrimientos matem¨¢ticos realmente punteros. Pero eso, evidentemente, no ha sido siempre as¨ª. En la historia de las matem¨¢ticas podemos encontrar personajes que realizaron interesantes aportaciones o descubrieron y desarrollaron nuevas teor¨ªas a pesar de su corta edad. Y, posiblemente, uno de los casos m¨¢s sorprendentes y trascendentes sea el del protagonista del art¨ªculo de hoy: ?variste Galois.

?variste Galois fue un matem¨¢tico franc¨¦s nacido el 25 de octubre de 1811. Aunque tuvo educaci¨®n y formaci¨®n desde peque?o, no se le conoce un claro inter¨¦s por las matem¨¢ticas hasta los 15 a?os. A partir de esa edad, se interes¨® por el estudio de, principalmente, el ¨¢lgebra, e intent¨® acceder a importantes centros de estudios y tambi¨¦n presentar trabajos a premios, con escaso ¨¦xito.

Parece claro que su car¨¢cter de rechazo a la autoridad fue, en gran parte, el culpable de ello. Galois siempre tuvo problemas para seguir los cauces marcados, y adem¨¢s fue un radical en lo que a pol¨ªtica se refiere (ser antimon¨¢rquico en la Francia del siglo XIX no parece algo que te facilitara las cosas).

No vamos a comentar mucho m¨¢s datos sobre su convulsa vida, pero s¨ª vamos a hablar de su ¨²ltima noche, la del 30 de mayo de 1832. Galois hab¨ªa aceptado batirse en duelo al d¨ªa siguiente (seg¨²n sus propias palabras, le hab¨ªa sido imposible negarse), y esa noche escribi¨® varias cartas, tres concretamente. Una de ellas fue para dos de sus amigos, para anunciarles el duelo y su m¨¢s que probable muerte; otra fue para los republicanos; y la tercera, la que m¨¢s nos interesa a nosotros en este texto, la us¨® para recopilar sus descubrimientos matem¨¢ticos, que a la postre resultaron claves para el avance del ¨¢lgebra moderna.

La razones por las que se lleg¨® a aquel duelo no parecen estar demasiados claras (algunos dicen que fue por una mujer, otros por temas pol¨ªticos), incluso el desarrollo del propio duelo es algo confuso (en algunos lugares se habla de un duelo con espadas, en otros con pistolas¡­), pero la cuesti¨®n es que Galois falleci¨® aquel d¨ªa 31 de mayo de 1832, dejando este mundo sin haber llegado a cumplir los 21 a?os.

Volvamos a lo que m¨¢s nos interesa aqu¨ª, volvamos a las matem¨¢ticas. ?Qu¨¦ recopil¨® Galois en esa tercera carta? Respuesta simple: cerr¨® el c¨ªrculo en lo que se refiere a resoluci¨®n de ecuaciones polin¨®micas; respuesta m¨¢s compleja: desarrollo una teor¨ªa que revolucion¨® el estudio del ¨¢lgebra.

Vamos poco a poco. Desde el siglo XVII, se sab¨ªa que hay f¨®rmulas para calcular las soluciones de toda ecuaci¨®n polin¨®mica hasta grado 4 con el simple conocimiento de sus coeficientes. Es decir, conociendo la ecuaci¨®n tenemos una f¨®rmula que nos da las soluciones de la misma, y dicha f¨®rmula solamente involucra a los coeficientes de tal ecuaci¨®n. Adem¨¢s, esta f¨®rmula solamente utiliza (como mucho) sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y radicales (ra¨ªces), por lo que a este proceso se le llama expresar las soluciones de la ecuaci¨®n en radicales. Pero esto s¨®lo se ten¨ªa hasta grado 4 (para cada grado hay una f¨®rmula distinta), y los intentos para encontrar algo parecido en grados superiores hab¨ªan sido infructuosos.

Esto ¨²ltimo era extra?o. ?Por qu¨¦ no se hab¨ªa encontrado una f¨®rmula para grado 5 o superior? Pues la respuesta es sencilla: porque no existe f¨®rmula general para resolver una ecuaci¨®n polin¨®mica cualquiera de grado 5 o superior. Eso lo demostr¨® el genial matem¨¢tico noruego Niels Henrik Abel en 1824. Ya est¨¢, tema resuelto¡­

¡­bueno, a medias. No tenemos f¨®rmula general, pero eso no significa que no se pueda resolver ninguna de esta forma. Galois demostr¨® eso mismo, que no hay f¨®rmula general, de manera independiente a Abel, pero fue un paso (un gran paso) m¨¢s all¨¢. Desarroll¨® una manera de asociar una estructura, que denomin¨® grupo (se le considera el primero que utiliz¨® esta denominaci¨®n), a cada ecuaci¨®n (fuera del grado que fuera) y estudi¨® c¨®mo deb¨ªa ser este grupo, denominado ahora grupo de Galois de la ecuaci¨®n, para que pudiera resolverse en radicales. Lo que encontr¨® Galois es que si ese grupo era resoluble, entonces la ecuaci¨®n pod¨ªa resolverse en radicales, y que esto no pod¨ªa hacerse si el grupo no era resoluble.

Las definiciones formales de grupo y de grupo resoluble escapan al prop¨®sito de este art¨ªculo, pero podemos continuar sin ellas para entender los logros de Galois. Para grado mayor o igual que 5, se tiene que el grupo asociado a la ecuaci¨®n polin¨®mica gen¨¦rica de cualquiera de esos grados no es resoluble, lo que nos lleva a no tener a nuestra disposici¨®n una f¨®rmula que nos d¨¦ las soluciones de una ecuaci¨®n cualquiera de este tipo. Esto resolv¨ªa el problema que ya hab¨ªa resuelto Abel, pero con m¨¦todos distintos.

Los trabajos de Galois revolucionaron el estudio de las ecuaciones y supusieron el comienzo del ¨¢lgebra moderna

Ahora, el trabajo de Galois va m¨¢s all¨¢. Como podemos asociar a cada ecuaci¨®n concreta su grupo de Galois, estudiando c¨®mo es ese grupo podemos saber si tendremos f¨®rmula para ella o no, y adem¨¢s podremos construirla. Es decir, el trabajo de Galois nos proporcionar una procedimiento para saber si tendremos una f¨®rmula en radicales para resolver cualquier ecuaci¨®n (??de cualquier grado!!) concreta, de la que conocemos sus coeficientes: ver si el grupo de Galois asociado a ella es o no resoluble, y en el caso de que se lo sea nos dice c¨®mo construir la f¨®rmula para resolverla. Maravilloso, ?verdad?

Todo esto se conoce actualmente como teor¨ªa de Galois, y es un campo enormemente importante dentro de las matem¨¢ticas. Tanto que, casi 200 a?os despu¨¦s, se sigue estudiando en todas las universidades que ofertan estudios de matem¨¢ticas. Todos los matem¨¢ticos del mundo han estudiado teor¨ªa de Galois en alg¨²n momento de su vida universitaria (en mi caso, fue un cuatrimestre completo de una asignatura del segundo curso). ?l solito cambi¨® radicalmente (s¨ª, la palabra viene muy al caso) el estudio del ¨¢lgebra, que pas¨® del simple estudio de la resoluci¨®n de ecuaciones al estudio de estructuras algebraicas, algunas de ellas asociadas a ecuaciones, como estos grupos de Galois. Y todo eso con apenas 20 a?os.

?variste Galois, como hab¨¦is podido leer, fue un revolucionario en todos los ¨¢mbitos: fue un radical en su vida personal y revolucion¨® las matem¨¢ticas con la informaci¨®n que nos dej¨® en su ¨²ltima carta. Por ello, viene muy a cuento esta frase (no recuerdo d¨®nde la vi) que muestra una curiosa paradoja de su vida:

Adem¨¢s de ser un genio en matem¨¢ticas, Galois fue un revolucionario, un rebelde. Por ello resulta tremendamente ir¨®nico y parad¨®jico que ¨¦l mismo probara que hay problemas que no pueden resolverse por radicales.