El domin¨® binario de Gardner

Es f¨¢cil ver que una cadena continua con las 28 fichas de domin¨® siempre empezar¨¢ y terminar¨¢ con el mismo n¨²mero. Para facilitar las cosas, quitemos las fichas dobles, pues luego podremos insertarlas en la cadena entre dos cualesquiera del mismo valor. En las 21 restantes tenemos seis veces cada uno de los siete n¨²meros, del 0 (blanco) al 6, y para formar con ellas una cadena continua hemos de establecer 20 uniones de dos n¨²meros iguales, para lo cual utilizamos 40 de los 42 n¨²meros disponibles, y como esos 40 forman 20 parejas de n¨²meros iguales, los dos que quedan libres en los extremos tambi¨¦n han de ser iguales. Por lo tanto, toda cadena continua formada con las 28 fichas puede cerrarse uniendo sus extremos, y si quitamos una ficha cualquiera, con las 27 restantes formaremos una cadena que podr¨ªa cerrarse con la ficha ya restada, por lo que podremos saber cu¨¢l falta sin m¨¢s que echar un r¨¢pido vistazo a la cadena. Si, pongamos por caso, en un extremo de la cadena hay un 4 y en el otro un 3, sabemos que la ficha que falta es la 3-4.

M¨¢s informaci¨®n

Dominar el domin¨®

Diversi¨®n con banderas

Un lector indic¨® (ver comentarios de la semana pasada) que el problema hab¨ªa sido tratado, entre otros, por Martin Gardner, y, efectivamente, hay un amplio e interesante cap¨ªtulo dedicado al domin¨® en su maravilloso libro Circo matem¨¢tico (Alianza, 1983); y, por si fuera poco, en la cubierta del libro figura el mismo esquema de fichas que utilic¨¦ como ilustraci¨®n de mi art¨ªculo. Acudo a menudo al maestro Gardner en busca de inspiraci¨®n, pero en este caso la coincidencia ha sido involuntaria.

Coincidencia involuntaria, pero afortunada, pues me ha llevado a releer su texto despu¨¦s de muchos a?os, lo que me permite traer a colaci¨®n su interesante manera de abordar la cuesti¨®n de las cadenas de fichas. Gardner parte del caso elemental de un domin¨® de solo dos n¨²meros, 0 (blanca) y 1, y por tanto tres fichas: 0-0, 0-1 y 1-1. En este caso trivial, es evidente que solo hay una cadena posible: 0-0/0-1/1-1, o dos si las consideramos distintas seg¨²n que empecemos por un extremo o por el otro (dicho de otro modo, hay dos ¡°partidas¡± posibles utilizando todas las fichas).

Gardner se?ala que el n¨²mero de cadenas posibles es igual al n¨²mero de formas distintas en que podemos recorrer un grafo en el que los puntos son las fichas dobles y las l¨ªneas que los unen son las fichas que combinan los valores de los puntos unidos; as¨ª, en el caso trivial del ¡°domin¨® binario¡±, el grafo lo forman los puntos 0-0 y 1-1 unidos por el segmento 0-1, grafo elemental que solo se puede recorrer de una manera (o dos si tenemos en cuenta el sentido).

Menos trivial es el ¡°domin¨® ternario¡± formado por las piezas 0-0, 0-1, 0-2, 1-1, 1-2 y 2-2. En este caso el grafo es un tri¨¢ngulo, y aunque el recorrido tambi¨¦n es b¨¢sicamente ¨²nico (0-0, 0-1, 1-1, 1-2, 2-2, 2-0), podemos unir sus extremos, como en el caso de las 28 fichas, formando un anillo que luego se puede romper por seis puntos, lo que da lugar a otras tantas cadenas diferentes.

En cuanto al ¡°domin¨® cuaternario¡± (de 0-0 a 3-3), sus diez fichas nos deparan una sorpresa. ?Cu¨¢l es?

En el caso del domin¨® convencional de 28 fichas, el correspondiente grafo es un hept¨¢gono con todas sus diagonales, que se puede recorrer formando 7.959.229.931.520 circuitos cerrados distintos, cada uno de los cuales, a su vez, se puede abrir por 28 puntos diferentes, dando lugar a m¨¢s de 200 billones de cadenas.

Y la cosa no acaba aqu¨ª: el de 28 fichas es el domin¨® m¨¢s conocido, pero no el ¨²nico ni el m¨¢s complejo. En Latinoam¨¦rica es muy popular el domin¨® cubano de 55 fichas (de 0-0 a 9-9), superado en tama?o y complejidad por el ¡°doble doce¡± (de 0-0 a 12-12), que tiene¡­ ?cu¨¢ntas fichas?