?Por qu¨¦ seguimos usando el bombo de la Loter¨ªa de Navidad y no un ordenador?

Como cada a?o, el pr¨®ximo 22 de diciembre, los ni?os de San Ildefonso configurar¨¢n los boletos ganadores de la Loter¨ªa de Navidad, cantando los n¨²meros que salen del bombo, bajo la mirada atenta de la mitad de Espa?a. En la esfera giratoria hay 100 000 bolas con n¨²meros del 0 al 99999, todas con el mismo peso (3 g) y di¨¢metro (18,8 mil¨ªmetros), y lo suficientemente mezcladas. De esta manera, se garantiza que la probabilidad de recibir el premio de cada uno de los n¨²meros vendidos sea igual a 1/100.000.

Pero, ?hace falta toda esa ceremonia para asegurar la aleatoriedad del sorteo? M¨¢s all¨¢ del rito y del folclore, ?no se podr¨ªa, simplemente, generar los n¨²meros aleatorios con un ordenador, sin necesidad de bombo, ni ni?os, ni televisi¨®n? Para que una secuencia de n¨²meros sea aleatoria no debe ser posible predecir el siguiente n¨²mero que va a salir sabiendo cu¨¢les han sido los anteriores. As¨ª sucede, de manera ideal, con el bombo en el que todas las bolas son exactamente iguales, un dado perfecto, o con el ruido atmosf¨¦rico.

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Sin embargo no es sencillo simular estos fen¨®menos. Podr¨ªa parecer que, dejando la mente en blanco y escribiendo de forma autom¨¢tica cifras bastar¨ªa para obtener una secuencia aleatoria, pero lo cierto es que el resultado dista mucho de serlo. Para un ordenador es imposible; siguen un comportamiento determinista: a partir de unos datos de entrada, siguiendo una serie de reglas, producen unos datos de salida. No hay lugar para los procesos aleatorios, por tanto, tan solo es posible simularlos. Los n¨²meros generados tendr¨¢n algunas de las propiedades de las secuencias aleatorias, y, si son buenos, deber¨ªan pasar los llamados ¡°contrastes de aleatoriedad¡±. La idea es que estas series no se puedan distinguir de una secuencia verdaderamente aleatoria empleando recursos computacionales razonables en tiempo razonable. Esta no es una definici¨®n estricta y, de hecho, muchas veces no est¨¢ tan claro si una secuencia de n¨²meros es o no aleatoria. As¨ª sucede con las cifras decimales del n¨²mero Pi. Los decimales obtenidos hasta ahora parecen seguir un patr¨®n aleatorio, pero ser¨ªa precipitado decir que as¨ª sucede hasta el infinito.

Existen diversos algoritmos de generaci¨®n de n¨²meros aparentemente aleatorios (llamados pseudo aleatorios). El matem¨¢tico John Von Neumann fue un pionero al proponer un algoritmo de generaci¨®n que empleaba ¨²nicamente las operaciones aritm¨¦ticas del ordenador, para resolver ecuaciones dentro del proyecto Manhattan. Su m¨¦todo era muy sencillo: partiendo de un n¨²mero de ocho cifras denominado semilla, como por ejemplo x0= 45688159, cada n¨²mero de la sucesi¨®n se obten¨ªa a partir de las ocho cifras centrales del cuadrado del anterior. As¨ª, x0^2 = 2087407872809281; X1= 40787280;¡­ Siguiendo esta sucesi¨®n se obtiene una serie de n¨²meros en la que no es sencillo encontrar un patr¨®n, pero que, haciendo un an¨¢lisis un poco m¨¢s detallado, no supera los mencionados contrastes. Como afirm¨® uno de los matem¨¢ticos que m¨¢s ha trabajado en estos temas, Donald Knuth, ¡°los n¨²meros aleatorios no se deben generar con m¨¦todos escogidos de forma aleatoria¡±. Es necesario analizar y construir algoritmos para ello.

Durante mucho tiempo se emple¨® el algoritmo RANDU en numerosos sistemas comerciales que luego result¨® ser un m¨¦todo m¨¢s que deficiente para muchos prop¨®sitos. Actualmente, para obtener buenas secuencias pseudo aleatorias se utilizan diversos m¨¦todos. Los principales generadores son los llamados lineales congruenciales, que emplean una operaci¨®n algebraica llamada congruencia para obtener n¨²meros de la sucesi¨®n. Tambi¨¦n se emplean los llamados multiplicativos, as¨ª como sus combinaciones. Asimismo, los sistemas din¨¢micos ca¨®ticos (como por ejemplo la aplicaci¨®n log¨ªstica), aunque deterministas, han probado ser buenos generadores de n¨²meros aleatorios.

M¨¢s all¨¢ de las loter¨ªas, los n¨²meros pseudo aleatorios se emplean en otros sorteos (el que determina la letra con la que empiezan las oposiciones, las mesas electorales¡­); y tambi¨¦n en las comunicaciones digitales y para modelizar fen¨®menos f¨ªsicos, biol¨®gicos, pol¨ªticos y econ¨®micos. Los n¨²meros aleatorios constituyen tambi¨¦n un elemento esencial en muchas otras ¨¢reas de las ciencias de la computaci¨®n (algoritmos aleatorizados, verificaci¨®n de algoritmos, complejidad algor¨ªtmica, criptograf¨ªa...), de la Ciencia de Datos (m¨¦todos de muestreo y remuestreo, contrastes Montecarlo, Inferencia Bayesiana, aprendizaje profundo,...) y, en general, en cualquier problema de c¨¢lculo cient¨ªfico que, de manera directa o indirecta, incluya alg¨²n elemento probabil¨ªstico.

El uso progresivo de modelos de simulaci¨®n cada vez m¨¢s detallados y complejos exige generadores de n¨²meros aleatorios cada vez de mayor calidad, de ah¨ª que ¨¦sta constituya una ¨¢rea de investigaci¨®n activa. Los resultados son cada vez mejores, pero aunque en pa¨ªses como EE UU s¨ª se emplean los n¨²meros pseudo aleatorios para algunas loter¨ªas (lo que ha dado lugar a fraudes como el perpetrado por el director de seguridad de uno de los sorteos), en Espa?a, por el momento seguimos manteniendo el sorteo de Navidad con el bombo como parte de la tradici¨®n.

?gata Tim¨®n es responsable de Comunicaci¨®n en el ICMAT. David R¨ªos es director de la C¨¢tedra AXA-ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.