Si Dios tuviera un n¨²mero, ?cu¨¢l ser¨ªa?

No s¨¦ yo si Ern? Rubik ten¨ªa siquiera una m¨ªnima idea de ¡°la que se iba a montar¡± con su juguete, pero se mont¨®, vaya si se mont¨®. Si ahora miramos hacia atr¨¢s, podemos comprobar que el cubo de Rubik, el rompecabezas que este profesor h¨²ngaro invent¨® en 1974 para ayudar a sus estudiantes a comprender ciertos problemas en tres dimensiones, es el juguete m¨¢s vendido de la historia.

Estoy convencido de que todos hab¨¦is tenido alguna vez en vuestra mano un cubo de Rubik, y tambi¨¦n de que la mayor¨ªa le hab¨¦is dedicado al menos unos minutos a girar sus caras con la esperanza de conseguir que, en cada una de ellas, todos los cuadraditos tuvieran el mismo color.

No se puede negar que, desde que en 1980 comenz¨® a venderse, varias generaciones se han devanado los sesos intentando resolver el cubo de Rubik, y, pasados ya m¨¢s de 40 a?os desde su invenci¨®n, lo seguimos haciendo. Sin ning¨²n conocimiento previo, y despu¨¦s de una inspecci¨®n no demasiado profunda del cubo, cualquiera podr¨ªa llegar a conseguir completar una de las caras; colocando dicha cara abajo, y aunque la cosa se complica un poco, llegar a completar el segundo nivel es razonablemente sencillo; terminar el nivel superior sin destrozar lo hecho anteriormente ya es bastante m¨¢s complejo y requiere m¨¢s estudio y an¨¢lisis¡­

¡­o un tutorial que nos explique c¨®mo hacerlo. En internet podemos encontrar multitud de manuales en distintos formatos que nos permiten resolver completamente el cubo de Rubik: los podemos encontrar en modo texto, con im¨¢genes, con animaciones y hasta en v¨ªdeo; los hay para principiantes y para usuarios avanzados¡­ No es el objetivo de este art¨ªculo explicar c¨®mo resolver el cubo de Rubik, pero no quiero dejar pasar la oportunidad de recomendaros la web Rubik-AZ? p¨¢gina sobre el cubo creada por mi colega Carlos Angosto en la que, adem¨¢s de tutoriales sobre su resoluci¨®n, encontrar¨¦is mucha m¨¢s informaci¨®n sobre este maravilloso rompecabezas.

El cubo de Rubik del que hemos hablado hasta ahora, el cl¨¢sico, el de toda la vida, es el cubo 3x3x3, que fue el original creado por Ern? Rubik, pero ni mucho menos es el ¨²nico que existe actualmente. Hay much¨ªsimas variantes de este cubo: 2x2x2, 4x4x4, 5x5x5¡­?Hasta podemos encontrar cubos de 17x17x17!

Tambi¨¦n hay cubos en los que las caras no est¨¢n divididas en cuadrados, sino en piezas m¨¢s extra?as. Y los hay tambi¨¦n que no son cubos: tetraedros, dodecaedros, poliedros no convexos¡­ Aqu¨ª ten¨¦is algunos ejemplos:

Pero, llamadme nost¨¢lgico si quer¨¦is, yo me sigo quedando con el original, con mi amado cubo de Rubik 3x3x3.

Volviendo a ¨¦l, plante¨¦monos ahora cu¨¢ntas posiciones distintas podr¨ªan tomar sus piezas. Tenemos 8 v¨¦rtices, que podr¨ªan permutarse de cualquier forma, por lo que eso nos dar¨ªa 8! (8 factorial) posibilidades. Por otro lado, cada v¨¦rtice tiene tres posiciones (sus tres caras visibles), por lo que esto nos dar¨ªa 3⁸ posibilidades para cada v¨¦rtice. En total, hasta ahora llevamos 8! ¡¤ 3⁸ posibilidades.

M¨¢s informaci¨®n

El Juego del Drago

Peinando cabezas con matem¨¢ticas

La pieza central interna del cubo no cuenta (evidentemente), y la pieza central de cada una de las caras tampoco se mueve. Por tanto, tenemos 20 piezas que pueden cambiar de posici¨®n: los 8 v¨¦rtices y las 12 intermedias de cada lado, que llamaremos aristas. Veamos qu¨¦ ocurre con ellas.

Esas 12 aristas, al igual que los v¨¦rtices, pueden permutarse entre ellas de cualquier manera, por lo que, al igual que ocurr¨ªa con los v¨¦rtices, tendr¨ªamos 12! posibilidades. Por otro lado, como cada arista tiene dos caras visibles, tendr¨ªamos por ello 2¹² opciones. En consecuencia, las aristas nos ofrecen 12! ¡¤ 2¹² posibilidades.

Tendr¨ªamos por tanto 8! ¡¤ 3⁸ ¡¤ 12! ¡¤ 2¹² posibilidades, pero no todas pueden darse en un cubo de Rubik (por ejemplo, no podemos llegar a que lo ¨²nico que falte por colocar bien sea un ¨²nico v¨¦rtice). Hay ciertas restricciones relacionadas con la paridad que hay que a?adir.

Una barbaridad de posibilidades, como pod¨¦is ver. Una enorme cantidad de posiciones iniciales a partir de las cuales podr¨ªamos intentar resolver el cubo. Y ahora viene la pregunta que motiva este art¨ªculo: ?cu¨¢ntos movimientos se necesitan, como mucho, para resolverlo?

Esta cuesti¨®n de cu¨¢l es el m¨¢ximo n¨²mero de movimientos que necesitar¨ªamos para resolver un cubo de Rubik, sea cual sea la posici¨®n inicial, es algo que ha tenido entretenidos a investigadores pr¨¢cticamente desde la aparici¨®n de este rompecabezas. Ya en 1981, un a?o despu¨¦s del comienzo de su comercializaci¨®n, se demostraba que el n¨²mero m¨¢ximo de movimientos estaba entre 18 y 52.

Existen, como ya hemos dicho, muchos tutoriales y manuales para resolver el cubo de Rubik comenzando desde cualquier posici¨®n, pero muchos de ellos nos ¡°obligan¡± a realizar m¨¢s movimientos de los que quiz¨¢s podr¨ªamos haber hecho partiendo de la posici¨®n inicial que tengamos entre manos. Vamos, que no son muy eficientes.

La cosa es que Dios, si existiera, seguro que dispondr¨ªa de un algoritmo de resoluci¨®n (es decir, una secuencia de pasos para resolver el cubo) totalmente eficiente, un algoritmo que resolviera el cubo de Rubik en el menor n¨²mero de pasos posibles. A este algoritmo se le llam¨® algoritmo de Dios, y al n¨²mero m¨¢ximo de movimientos necesarios para resolver cualquier cubo de Rubik se le denomina n¨²mero de Dios.

Este n¨²mero de Dios, que en 1981 estaba acotado entre 18 y 52, era el Santo Grial del cubo de Rubik, el n¨²mero deseado por todos los amantes del estudio de la resoluci¨®n de este rompecabezas. En 1990 ya lo ten¨ªamos acotado entre 18 y 42; en 1995 entre 20 y 29; en 2008 entre 20 y 22; y, por fin, en 2010 se demostr¨® que el n¨²mero de Dios es exactamente 20.

Esto significa que todo cubo de Rubik, sea cual sea la posici¨®n inicial de sus piezas, se puede resolver en, como mucho, 20 movimientos. Habr¨¢ posiciones iniciales que necesiten menos de 20 movimientos, pero no hay ninguna para la que estemos obligados a realizar m¨¢s de 20. Y, adem¨¢s, est¨¢ demostrado que este n¨²mero no se puede mejorar, ya que se sabe que hay posiciones concretas que necesitan de exactamente 20 movimientos.

Por tanto, esta b¨²squeda est¨¢ completamente cerrada: el n¨²mero de Dios es 20. Si quer¨¦is m¨¢s informaci¨®n sobre esto, pod¨¦is echarlo un ojo a Cube20.

Para terminar, no puedo irme sin poner un par de v¨ªdeos relacionados con el cubo de Rubik que, seguro, os dejar¨¢n con la boca abierta. El primero de ellos nos muestra a Seung Beum Cho batiendo el r¨¦cord del mundo de tiempo de resoluci¨®n del cubo. Lo hizo el pasado mes de octubre de este a?o 2017 y lo dej¨® en nada menos que 4¡¯59 segundos. Aqu¨ª lo ten¨¦is:

Y el otro es producto nacional. En ¨¦l vemos a David Calvo realizando una de las muchas barbaridades que se pueden ver en relaci¨®n con el cubo de Rubik: con una mano hace malabares con dos cubos y con la otra mano resuelve un tercero. Ah¨ª va:

Si conoc¨¦is de la existencia de v¨ªdeos en los que se realicen trucos como este o de otro tipo con el cubo de Rubik estaremos muy agradecidos si nos los mostr¨¢is en los comentarios.