El curioso caso de la secuencia de Goodstein

Hacer caso de nuestra propia intuici¨®n puede ser interesante en algunas ocasiones, pero en otras puede hacer que nos precipitemos y escojamos la opci¨®n equivocada (recordad, por poner un ejemplo, la paradoja de la banda esf¨¦rica). Y en matem¨¢ticas eso pasa mucho: es peligroso fiarse de nuestra intuici¨®n cuando estamos tratando con resultados matem¨¢ticos.

Hoy vamos a ver un caso bastante curioso en el que este peligro hace acto de presencia: vamos a adentrarnos en el curioso caso de la secuencia de Goodstein.

Dej¨¦monos de pre¨¢mbulos y met¨¢monos ya en el tema. Para cada entero positivo vamos a definir una secuencia de n¨²meros y despu¨¦s intentaremos analizar c¨®mo podr¨ªa terminar dicha secuencia. Para mostrar esta secuencia de n¨²meros, vamos a verlo con un ejemplo.

Tomamos el n¨²mero 124 y lo expresamos como suma de potencias de 2 (todo entero positivo puede expresarse de esa forma):

Ahora, expresamos todos los exponentes tambi¨¦n como potencias de 2 (los que sean 2 o menores se dejan igual):

Hecho esto, sustituimos todas las apariciones del n¨²mero 2 por un n¨²mero 3 y restamos 1 al resultado, qued¨¢ndonos la siguiente expresi¨®n:

que, m¨¢s concretamente, es el n¨²mero 236393522034704. La cosa ha crecido bastante, ?verdad? Bien, expresemos ahora este n¨²mero en forma de suma en base 3, para lo cual haremos uso de la igualdad

(aⁿ ¨C 1) = (a ¨C 1) ¡¤ (a^n-1 + a^n-2 + ¡­ + a + 1)

para ¡°quitar¡± esa resta final:

Calculemos un valor m¨¢s de la sucesi¨®n cambiando el 3 por el 4 y restando de nuevo 1 al resultado:

Nos queda un n¨²mero de 157 cifras, much¨ªsimo mayor que los anteriores. Y ahora har¨ªamos lo mismo cambiando el 4 por el 5 y restando 1; y despu¨¦s cambiando el 5 por el 6 y restando 1; y as¨ª sucesivamente. Cada uno de los n¨²meros obtenidos es un t¨¦rmino de la sucesi¨®n de Goodstein de 124. La pregunta es: ?cu¨¢l ser¨¢ el comportamiento de la sucesi¨®n? ?Es siempre creciente? ?Decrece en alg¨²n momento? ?Se estabiliza alrededor de alg¨²n valor?

Est¨¢ m¨¢s o menos claro, ?verdad? En cada paso, cambiamos las apariciones de un cierto n¨²mero por otro una unidad mayor, con lo que las potencias son cada vez mucho m¨¢s grandes, y luego solamente restamos 1, con lo que el n¨²mero apenas cambia.

Teniendo en cuenta esto, est¨¢ claro que la sucesi¨®n seguir¨¢ creciendo indefinidamente, ?verdad? Pues no. La cosa es que, sorprendentemente, la sucesi¨®n de Goodstein de todo (repito, de TODO) entero positivo termina en 0 en un n¨²mero finito de pasos.

Toda secuencia de Goodstein termina irremediablemente en cero.

S¨ª, estoy totalmente en serio: comencemos con el n¨²mero que comencemos, al realizar las operaciones descritas para construir la sucesi¨®n de Goodstein, acabaremos obteniendo 0 en un n¨²mero finito de pasos. No me dig¨¢is que no es para quedarse con la boca abierta.

Este resultado fue demostrado por primera vez por el matem¨¢tico ingl¨¦s Reuben Goodstein en 1944 en su trabajo On the Restricted Ordinal Theorem.

?ALERTA DE CONTENIDO MATEM?TICO AVANZADO!

Este teorema de Goodstein fue uno de los primeros resultados para los cuales se demostr¨® que no pod¨ªan ser probados dentro de la aritm¨¦tica de Peano (ahora no se me ocurre c¨®mo se puede demostrar algo as¨ª). Para probarlo, Goodstein utiliz¨® la teor¨ªa de ordinales, y m¨¢s adelante se han desarrollado demostraciones que utilizan sistemas l¨®gicos m¨¢s fuertes que la aritm¨¦tica de Peano.

?FIN DE LA ALERTA!

Intentar comprobar el resultado con alg¨²n n¨²mero peque?o puede darnos una idea de por qu¨¦ ocurre esto tan contrario a nuestra intuici¨®n. Veamos qu¨¦ pasa si comenzamos con el n¨²mero 3:

Como veis, la sucesi¨®n termina en 0, como dice el teorema de Goodstein.

Pod¨¦is comenzar ahora en el n¨²mero 4 para ver otro ejemplo, pero os aviso de que en ese caso tendr¨¦is que realizar una cantidad inimaginable de pasos hasta llegar a 0 (se alcanza un n¨²mero de m¨¢s de 121 millones de cifras). Pero se llega, os aseguro que se llega.

Como curiosidad final, es interesante comentar que este teorema se puede generalizar a un cambio de base cualquiera en cada paso. Es decir, no hace falta cambiar por el n¨²mero siguiente (el 2 por el 3, el 3 por el 4, etc¨¦tera), sino que podr¨ªamos cambiar por cualquier entero positivo en cada paso y el teorema se seguir¨ªa cumpliendo. Sencillamente maravilloso.

Y ahora os toca a vosotros. Me gustar¨ªa, si os apetece, que nos hablarais en los comentarios de resultados matem¨¢ticos contrarios a la intuici¨®n pero que sean ciertos. Hay muchos, as¨ª que seguro que podemos coleccionar unos cuantos y, por qu¨¦ no, hablar de algunos de ellos en pr¨®ximos art¨ªculos.