Muere Alan Baker, el explorador de los n¨²meros trascendentes

El pasado 4 de febrero falleci¨® en Cambridge (Reino Unido) Alan Baker, uno de los m¨¢ximos exponentes de la matem¨¢tica inglesa y de la teor¨ªa de n¨²meros del siglo XX, distinguido con la Medalla Fields en 1970, cuando apenas acababa de estrenar la treintena, por sus trabajos fundamentales en el estudio de soluciones de las llamadas ecuaciones diof¨¢nticas.

Nacido en Londres en el a?o 1939, Baker estudi¨® en algunas de las instituciones m¨¢s prestigiosas del mundo: realiz¨® sus estudios de grado en matem¨¢ticas en la University College London; y desarroll¨® su tesis de master y de doctorado en el Trinity College de Cambridge, bajo la direcci¨®n de Harold Davenport. Su carrera investigadora empez¨® temprano; antes de terminar su doctorado en el a?o 1965 obtuvo diversos resultados de teor¨ªa de n¨²meros que hoy se consideran contribuciones fundamentales en matem¨¢tica, y que le valieron para ser elegido ese mismo a?o miembro del Trinity College, instituci¨®n en la que permanecer¨ªa toda su vida.

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Baker se dedic¨® especialmente a la denominada teor¨ªa de trascendencia, un campo de la teor¨ªa de n¨²meros que estudia los n¨²meros trascendentes. Estos se definen en contraposici¨®n a los llamados n¨²meros algebraicos, que son aquellos que se obtienen como soluci¨®n de una ecuaci¨®n polin¨®mica con coeficientes enteros. Por ejemplo, el -3, el 4/7 o la ra¨ªz c¨²bica de 2 son n¨²meros algebraicos ya que se obtienen al resolver las ecuaciones x+3=0, 7x-4=0 y x^3=2, respectivamente. As¨ª, los n¨²meros algebraicos abarcan los n¨²meros enteros, los n¨²meros racionales y, en general, los n¨²meros que se obtienen aplicando de manera sucesiva ra¨ªces de todos los ¨®rdenes.

Los n¨²meros trascendentes son los n¨²meros que no son algebraicos. Los ejemplos m¨¢s prominentes son el n¨²mero ¦Ð y la base del logaritmo neperiano, el n¨²mero e. La demostraci¨®n de que ¦Ð es trascendente fue obtenida en el a?o 1882 por el matem¨¢tico alem¨¢n Ferdinand von Lindemann. A partir de este resultado se puede resolver f¨¢cilmente el problema cl¨¢sico de la cuadratura del c¨ªrculo: ?es posible construir, con regla y comp¨¢s, un cuadrado cuya ¨¢rea sea igual a ¦Ð?

Adem¨¢s de ¦Ð y e, se sabe que la mayor¨ªa de los n¨²meros son trascendentes. Pese a ello, es muy dif¨ªcil asegurar que un n¨²mero dado es trascendente, ya que para comprobarlo, hace falta demostrar que no hay ning¨²n polinomio que tenga como ra¨ªz ese n¨²mero. David Hilbert, en su lista de los 23 problemas que marcar¨ªan el desarrollo de las matem¨¢ticas del siglo XX, incluy¨® un problema relativo a estos n¨²meros. Dec¨ªa lo siguiente: dado un n¨²mero a algebraico y distinto de 0 y 1, y b un n¨²mero algebraico irracional, es decir, que no se puede expresar como una fracci¨®n, ?es cierto que el n¨²mero a^b es un n¨²mero trascendente? En 1934 Aleksandr Gelfond demostr¨® que as¨ª es, y, tambi¨¦n lo prob¨® en el a?o 1935 Theodor Schneider de forma independiente y con un m¨¦todo diferente (en la primera mitad del siglo XX la comunicaci¨®n cient¨ªfica era m¨¢s complicada, y pod¨ªan ocurrir, como en este caso, que dos cient¨ªficos hallasen independientemente el mismo resultado). Es lo que hoy se conoce como teorema de Gelfond-Schneider que asegura que, por ejemplo, 2 elevado a ra¨ªz de 2 es un n¨²mero trascendente.

La teor¨ªa de la trascendencia a¨²n sigue siendo un ¨¢rea muy desconocida; por ejemplo, a d¨ªa de hoy ni siquiera sabemos si la suma ¦Ð+e es un n¨²mero trascendente o no. Expertos en teor¨ªa de n¨²meros siguen trabajando para probar este y otros resultados, usando nuevas herramientas como la teor¨ªa de periodos, objetos que tienen interacciones muy profundas con la teor¨ªa cu¨¢ntica de campos y la geometr¨ªa no conmutativa. Los trabajos de Baker ayudaron a entender algo m¨¢s sobre los n¨²meros trascendentes, y marcaron parte de la historia de las matem¨¢ticas puras del siglo XX, arrojando un poco de luz sobre las propiedades m¨¢s profundas de la aritm¨¦tica de los n¨²meros naturales.

Juanjo Ru¨¦ es profesor agregat del Departamento de Matem¨¢ticas de la Universidad Polit¨¦cnica de Catalu?a y miembro de la Barcelona Graduate School of Mathematics.

?gata Tim¨®n es responsable de Comunicaci¨®n y Divulgaci¨®n del ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.