Lo que las matem¨¢ticas pueden aprender de las hormigas

2018 ha sido proclamado A?o Internacional de la Biolog¨ªa Matem¨¢tica, por la European Mathematical Society (EMS) y la European Society for Mathematical and Theoretical Biology (ESMTB). Los principales objetivos de esta celebraci¨®n son se?alar el incremento y la importancia de las aplicaciones de las matem¨¢ticas a la biolog¨ªa y a las ciencias de la vida; pero lo cierto es que la interacci¨®n se da en ambas direcciones. Tal y como hac¨ªan los griegos hace dos mil a?os, los matem¨¢ticos seguimos observando e inspir¨¢ndonos en la naturaleza para dar con nuevos desarrollos en nuestra disciplina.

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Por ejemplo, al mirar un panal, podr¨ªamos preguntarnos, ?por qu¨¦ hacen las abejas sus celdas hexagonales, cuando ser¨ªa m¨¢s sencillo hacer tri¨¢ngulos o cuadrados? El matem¨¢tico griego Pappus de Alejandr¨ªa conjetur¨® en el siglo IIII que un ret¨ªculo hecho de hex¨¢gonos minimiza el ¨¢rea de las paredes que deben levantar las abejas, abarcando un mismo volumen de celda. Pero hubo que esperar hasta 1999 para que el matem¨¢tico Thomas C. Hales demostrara la afirmaci¨®n. Como esta, hay much¨ªsimas tareas que se realizan en el mundo animal de forma llamativamente eficiente, y comprender sus mecanismos internos aporta lecciones muy interesantes a las matem¨¢ticas y a otras disciplinas.

El caso de las hormigas es muy ilustrativo. Aunque su cerebro es diminuto, desarrolla tareas colectivas (construcci¨®n de hormigueros, sistema social sofisticado, exploraci¨®n y recolecci¨®n de alimento) de notable complejidad. Es como si la suma de los cerebros de miles de hormigas constituyera el cerebro de un animal superior. ?Cu¨¢les son los mecanismos que usan para coordinarse en la recolecci¨®n de alimento? Y, ?qu¨¦ podr¨ªamos aprender de ellos?

La respuesta, seg¨²n investigaciones de los ¨²ltimos a?os, la da una noci¨®n matem¨¢tica: la de los llamados caminos aleatorios reforzados. En un camino aleatorio asignamos probabilidades, que pueden ser distintas, a dar cada paso a la derecha, a la izquierda, hacia delante o atr¨¢s. El resultado es un camino err¨¢tico, tambi¨¦n llamado "del borracho". En los caminos aleatorios reforzados se incrementa la probabilidad de ir en una cierta direcci¨®n cuando el caminante aleatorio percibe un aroma en esa direcci¨®n, como por ejemplo, el de las feromonas que las propias hormigas van secretando mientras caminan para que las compa?eras puedan oler con sus antenas.

Gracias a este mecanismo tan simple, tal y como muestran resultados matem¨¢ticos y las simulaciones num¨¦ricas, un grupo suficientemente grande de hormigas termina concentrado en caminos de longitud m¨ªnima entre hormiguero y fuentes de alimento. Tambi¨¦n es interesante estudiar los mecanismos que emplean en la exploraci¨®n en busca de alimento. En este caso la distribuci¨®n de probabilidad en funci¨®n de la direcci¨®n es de un tipo concreto, llamado de Pareto. Estas distribuciones favorecen de cuando en cuando cambios muy bruscos de direcci¨®n, permitiendo as¨ª la exploraci¨®n del terreno sin quedar atrapados en una regi¨®n concreta.

Este patr¨®n de b¨²squeda, bastante com¨²n en el mundo animal, optimiza la probabilidad de encontrar algo de alimento y, por tanto, de sobrevivir. La descripci¨®n de estos mecanismos se puede aplicar en el dise?o de robots miniaturizados encargados de, por ejemplo, detectar, reparar y limpiar un escape en una central nuclear.

Tambi¨¦n podemos aprender del car¨¢cter descentralizado del trabajo colectivo de las hormigas, que las dota de una resiliencia ante eventos destructivos. No hay una central de mando que diga a cada hormiga qu¨¦ hacer, sino que se auto-organizan mediante feromonas. Estas act¨²an de modo que, si una fracci¨®n de hormigas desaparece por alguna raz¨®n (un accidente, un depredador, etc.) de forma espont¨¢nea otras reconstruyen el camino y prosigue la tarea recolectora.

Los caminos de recolecci¨®n de alimentos, u otras infraestructuras como el propio hormiguero, se pueden representar mediante grafos, en los que las aristas unen v¨¦rtices, como las redes de carreteras unen ciudades. Se construyen valorando la resiliencia y el coste. Los grafos llamados totalmente conexos, en los que todos los v¨¦rtices se unen entre s¨ª, permiten f¨¢cilmente encontrar nuevos caminos entre v¨¦rtices ante la p¨¦rdida de varias aristas (es decir, son muy resilentes) pero son caros de construir. En cambio, los grafos m¨ªnimos, aquellos que unen todos los v¨¦rtices usando el menor n¨²mero de aristas posibles, son baratos pero la p¨¦rdida de una arista obliga a la reconstrucci¨®n. Normalmente los insectos encuentran una soluci¨®n intermedia. Estos criterios de descentralizaci¨®n y resiliencia son tambi¨¦n importantes en nuestras redes (de transporte, comunicaci¨®n, cadenas de producci¨®n¡­) y plantean problemas de optimizaci¨®n muy interesantes. Las soluciones a las que llegan insectos, analizadas a trav¨¦s de las matem¨¢ticas, pueden ayudarnos a mejorar nuestros dise?os.

Marco Fontelos es Investigador Cient¨ªfico en el CSIC-ICMAT.

Mar¨ªa Vela es profesora de la Facultad de Ciencias Econ¨®micas y Empresariales de la Universidad Complutense de Madrid y miembro del Instituto de Matem¨¢tica Interdisciplinar.?

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.