El dif¨ªcil camino de lo micro a lo macrosc¨®pico

Miro la mano con la que escribo ahora mismo en mi ordenador. Est¨¢ compuesta de tejidos, que a su vez est¨¢n formados por c¨¦lulas, y cada c¨¦lula de mol¨¦culas, cada mol¨¦cula de ¨¢tomos, cada ¨¢tomo de part¨ªculas elementales. ?Qu¨¦ son estas unidades? ?Cu¨¢les son los principios b¨¢sicos que las rigen? Desde los tiempos de Dem¨®crito (460 a. C.-c. 370 a. C.) en la Antigua Grecia, la ciencia ha querido buscar y entender los ¨²ltimos constituyentes de la materia. Parece que al fin, tras siglos de investigaci¨®n, se est¨¢ concluyendo con ¨¦xito esta b¨²squeda, como ilustra el descubrimiento del bos¨®n de Higgs en el CERN, entre otros avances.

A trav¨¦s de esta atomizaci¨®n de la ciencia se espera disponer de descripciones microsc¨®picas de los procesos macrosc¨®picos que aparecen en la naturaleza, como por ejemplo la imanaci¨®n en un metal o el cambio de fase entre el agua y el hielo al bajar la temperatura. Sin embargo, el paso para explicar el comportamiento macrosc¨®pico esperado a partir de una descripci¨®n microsc¨®pica dada, supone, en muchos casos, un problema matem¨¢tico de enorme complejidad. De esta forma, incluso teniendo una descripci¨®n exacta de las interacciones entre las part¨ªculas que componen un material, no es sencillo deducir a qu¨¦ temperatura se producir¨¢ una transici¨®n de fase en el mismo.

De hecho, en el famoso listado de los 23 problemas matem¨¢ticos que guiar¨ªan las matem¨¢ticas del siglo XX, David Hilbert propuso, como parte central del problema n¨²mero seis, derivar de forma rigurosa las ecuaciones matem¨¢ticas que rigen el comportamiento de los fluidos a partir de una descripci¨®n de c¨®mo los ¨¢tomos que lo constituyen se mueven y colisionan entre s¨ª.

El mismo tipo de problema aparece en el estudio de las propiedades cu¨¢nticas que surgen en sistemas a temperatura suficientemente baja, cuya f¨ªsica obedece a las leyes de la mec¨¢nica cu¨¢ntica. En estos materiales, incluso con una descripci¨®n exacta de las interacciones a nivel microsc¨®pico, no es posible predecir el comportamiento macrosc¨®pico esperado. As¨ª sucede por ejemplo con la superconductividad de alta temperatura, descubierta de forma experimental en 1986 por Georg Bednorz y K. Alex M¨¹ller, lo que les vali¨® el premio Nobel en 1987. Existe un modelo microsc¨®pico - el modelo de Fermi-Hubbard- que se conjetura como una explicaci¨®n del efecto, pero, a fecha de hoy, no se conoce el mecanismo que explica la superconductividad de alta temperatura. Ni siquiera con t¨¦cnicas num¨¦ricas en supercomputadores se han podido obtener predicciones medibles fiables a partir del modelo.

?Podr¨ªa ser que estos sistemas cuyas propiedades dependen del tama?o tengan una utilidad pr¨¢ctica?

Estas t¨¦cnicas num¨¦ricas son las que permiten obtener la mayor parte del conocimiento en la f¨ªsica de la materia, debido a la complejidad del estudio de las propiedades cu¨¢nticas de los materiales. En un ordenador es posible simular sistemas de unas pocas part¨ªculas a partir del conocimiento de sus interacciones y, gracias al desarrollo computacional, es posible analizar num¨¦ricamente muestras del material de tama?os cada vez m¨¢s grandes. Pero los recursos de tiempo y memoria requeridos (que crecen normalmente muy r¨¢pido con el volumen de la muestra), limitan el tama?o de la simulaci¨®n, as¨ª que se emplean los datos obtenidos, en una sucesi¨®n creciente de tama?os, para extrapolar el comportamiento esperado del material a cualquier escala deseada.

Pero, ?se puede garantizar que este proceso de extrapolaci¨®n dar¨¢ siempre una predicci¨®n razonable? Sorprendentemente no. En un art¨ªculo publicado recientemente en PNAS, junto con J. Bausch, T. Cubitt, A. Lucia y M.M. Wolf, hemos encontrado sistemas cu¨¢nticos con una descripci¨®n microsc¨®pica sencilla pero cuyo comportamiento cambia de forma radical a partir de un tama?o, que llamamos cr¨ªtico. Llegado al tama?o cr¨ªtico, al a?adir una sola part¨ªcula m¨¢s al sistema, las propiedades del mismo pasan de tener una descripci¨®n puramente cl¨¢sica, a tener uno de los comportamientos cu¨¢nticos m¨¢s ex¨®ticos conocidos: el llamado orden topol¨®gico. Los sistemas con orden topol¨®gico, cuyo descubrimiento fue distinguido con el premio Nobel en 2016, tienen la peculiaridad de que sus propiedades dependen de la topolog¨ªa (por ejemplo, del n¨²mero de agujeros) que tenga la superficie del material. As¨ª, las propiedades son distintas si el material tiene forma de esfera, de donut, o de ocho.

De esta manera, estos sistemas muestran que no es posible extrapolar siempre los resultados obtenidos num¨¦ricamente (aunque el tama?o de la simulaci¨®n fuese enorme) para conocer el comportamiento macrosc¨®pico del material, ya que si el tama?o cr¨ªtico est¨¢ por encima de la capacidad computacional, la predicci¨®n ser¨ªa un comportamiento macrosc¨®pico puramente cl¨¢sico, muy distinto del comportamiento topol¨®gico real. Por otro lado, ?podr¨ªa ser que estos sistemas cuyas propiedades dependen del tama?o tengan una utilidad pr¨¢ctica? La historia nos ense?a que lo ex¨®tico termina siendo ¨²til a la larga: la radiaci¨®n, el l¨¢ser, los semiconductores, los superconductores, o incluso el mismo orden topol¨®gico, como sustrato de las futuras memorias cu¨¢nticas. En este caso, ?qui¨¦n sabe?

David P¨¦rez es catedr¨¢tico de An¨¢lisis Matem¨¢tico en la Universidad Complutense de Madrid y miembro del ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.