Por qu¨¦ los n¨²meros primos siguen fascinando a los matem¨¢ticos, 2.300 a?os despu¨¦s

El 20 de marzo, el matem¨¢tico estadounidense de origen canadiense Robert Langlands fue distinguido con el Premio Abel por toda una vida dedicada a las matem¨¢ticas. La investigaci¨®n de Langlands ha demostrado que conceptos derivados de la geometr¨ªa, el ¨¢lgebra y el an¨¢lisis num¨¦rico pod¨ªan conectarse a trav¨¦s de un v¨ªnculo com¨²n con los n¨²meros primos.

Cuando el rey de Noruega le entregue el galard¨®n a Langlands, el pr¨®ximo mayo, estar¨¢ premiando el ¨²ltimo de los esfuerzos que desde hace 2.300 a?os tratan de entender los n¨²meros primos, posiblemente el conjunto de datos matem¨¢ticos mayor y m¨¢s antiguo.

Como matem¨¢tico dedicado a este programa Langlands, me fascina la historia de los n¨²meros primos y los recientes avances que ayudan a desenmara?ar sus secretos. ?Por qu¨¦ llevan milenios cautivando a los matem¨¢ticos?

C¨®mo encontrar n¨²meros primos

Para estudiar los n¨²meros primos, los matem¨¢ticos extraen n¨²meros enteros de una tabla virtual tras otra, hasta dejar solo los primos. Este procedimiento de criba produjo tablas de millones de primos en el siglo XIX. En la actualidad, permite a los ordenadores encontrar miles de millones de n¨²meros primos en menos de un segundo. Pero la idea fundamental de la criba permanece inmutable desde hace m¨¢s de 2.000 a?os.

¡°Un n¨²mero primo es aquel que solo es medido por la unidad¡±, escrib¨ªa el matem¨¢tico Euclides en el a?o 300 a. C. Esto significa que los n¨²meros primos no son divisibles entre ning¨²n n¨²mero menor que ellos, excepto 1. Por convenci¨®n, los matem¨¢ticos no cuentan el 1 como n¨²mero primo.

Si bien Euclides demostr¨® que los n¨²meros primos son infinitos, la historia indica que fue Erat¨®stenes quien nos aport¨® la criba que permite hallarlos con rapidez. Esta es la idea de la criba. Primero, filtramos los m¨²ltiplos de 2, luego de 3, de 5 y de 7, los cuatro primeros n¨²meros primos. Si lo hacemos con todos los n¨²meros del 2 al 100, solo quedar¨¢n n¨²meros primos. Con ocho pasos de filtrado, podemos aislar los n¨²meros primos hasta 400. Con 168 pasos de filtrado, podemos aislar primos hasta 1 mill¨®n. Esa es la capacidad de la criba de Erat¨®stenes.

Tablas y tablas

Una de las primeras figuras en el listado de primos fue John Pell, un matem¨¢tico ingl¨¦s que se dedic¨® a crear tablas de n¨²meros ¨²tiles. Su motivaci¨®n era resolver problemas aritm¨¦ticos antiguos planteados por Diofanto, pero tambi¨¦n un objetivo personal de organizar verdades matem¨¢ticas. Gracias a sus esfuerzos, a principios del siglo xviii circulaban ya los n¨²meros primos hasta 100.000. En 1800, distintos proyectos independientes hab¨ªan hallado ya los primos hasta 1 mill¨®n.

Para automatizar los tediosos pasos de criba, un matem¨¢tico alem¨¢n llamado Carl Friedrich Hindenburg utiliz¨® deslizadores ajustables para eliminar de inmediato m¨²ltiplos en toda una p¨¢gina de una tabla. Otro m¨¦todo poco tecnol¨®gico pero eficaz empleaba plantillas para localizar los m¨²ltiplos. A mediados del siglo XIX, el matem¨¢tico Jakob Kulik se hab¨ªa embarcado en un ambicioso proyecto para encontrar todos los n¨²meros primos hasta 100 millones.

Estos ¡°grandes datos¡± del siglo XIX podr¨ªan haber servido solo como tabla de referencia si Carl Friedrich Gauss no hubiera decidido analizar los n¨²meros primos por s¨ª mismos. Armado con una lista de primos hasta 3 millones, Gauss empez¨® a contarlos, de ¡°chiliada¡± (grupos de 1.000 unidades) en chiliada. Cont¨® los primos que hay hasta 1.000, despu¨¦s entre 1.000 y 2.000, despu¨¦s entre 2.000 y 3.000 y as¨ª sucesivamente.

Gauss descubri¨® que, a medida que aumentan los n¨²meros, la frecuencia de los primos desciende de acuerdo con una ley de ¡°logaritmo inverso¡±. La ley de Gauss no muestra con exactitud cu¨¢ntos primos hay, pero ofrece un c¨¢lculo bastante bueno. Por ejemplo, su ley predice la existencia de 72 primos entre 1.000.000 y 1.001.000. La cifra correcta es de 75, un error de aproximadamente el 4%.

Un siglo despu¨¦s de las primeras exploraciones de Gauss, el ¡°teorema de los n¨²meros primos¡± demostr¨® su ley. El porcentaje de error se aproxima a cero en las cadenas de primos de mayor tama?o. La hip¨®tesis de Riemann, un problema que vale 1 mill¨®n de d¨®lares en la actualidad, describe tambi¨¦n lo exacto que es realmente el c¨¢lculo de Gauss.

El teorema de los n¨²meros primos y la hip¨®tesis de Riemann reciben la atenci¨®n y el dinero, pero ambos se basan en an¨¢lisis de datos anteriores y menos glamurosos.

Misterios modernos de los n¨²meros primos

Hoy en d¨ªa, nuestros conjuntos de datos proceden de programas inform¨¢ticos, y no de plantillas hechas a mano, pero los matem¨¢ticos siguen hallando nuevos patrones en los primos.

Excepto el 2 y el 5, todos los n¨²meros primos acaban en 1, 3, 7 o 9. En el siglo XIX se demostr¨® que estos posibles ¨²ltimos d¨ªgitos se dan con la misma frecuencia. En otras palabras, si observamos los primos hasta un mill¨®n, aproximadamente el 25% termina en 1, el 25% en 3, el 25% en 7 y el 25% en 9.

En lo que al estudio de n¨²meros primos sucesivos se refiere, los matem¨¢ticos se ven limitados? al an¨¢lisis de datos y a la persuasi¨®n

Hace unos a?os, dos te¨®ricos de n¨²meros de Stanford, Robert Lemke Oliver y Kannan Soundararajan, se sorprendieron al observar peculiaridades en los ¨²ltimos d¨ªgitos de n¨²meros primos. Un experimento observaba el ¨²ltimo d¨ªgito de un primo y el ¨²ltimo d¨ªgito del siguiente. Por ejemplo, el n¨²mero primo que sigue a 23 es 29: vemos un 3 y despu¨¦s un 9 en sus ¨²ltimos d¨ªgitos. ?Es la secuencia 3 - 9 entre los ¨²ltimos d¨ªgitos de los n¨²meros primos m¨¢s frecuente que la de 3 - 7?

Los te¨®ricos de n¨²meros esperaban cierta variaci¨®n, pero lo que encontraron super¨® con creces sus expectativas. Los primos est¨¢n separados por diferentes intervalos; por ejemplo, 23 est¨¢ a seis n¨²meros de 29. Pero la secuencia de primos terminados en 3 y a continuaci¨®n 9, como 23 y 29, es mucho m¨¢s com¨²n que 7 ¨C 3, aunque ambos procedan de un intervalo de seis.

Los matem¨¢ticos pronto encontraron una explicaci¨®n veros¨ªmil. Pero en lo que al estudio de n¨²meros primos sucesivos se refiere, los matem¨¢ticos se ven limitados (principalmente) al an¨¢lisis de datos y a la persuasi¨®n. Parece que las pruebas ¨Cel patr¨®n oro de los matem¨¢ticos para explicar por qu¨¦ las cosas son ciertas¨C tardar¨¢n d¨¦cadas.

Martin H. Weissman es profesor asociado de matem¨¢ticas en la Universidad de California en Santa Cruz

Cl¨¢usula de divulgaci¨®n. Martin Weissman recibe financiaci¨®n de la Fundaci¨®n Simons para la colaboraci¨®n en matem¨¢ticas.

Este art¨ªculo fue publicado originalmente en ingl¨¦s en la web The Conversation.

Traducci¨®n de News Clips.