Nuestras matem¨¢ticas podr¨ªan ser radicalmente diferentes

Las matem¨¢ticas han estado presentes a lo largo de toda la historia de la humanidad, o al menos de la que tenemos constancia, por lo que podr¨ªan parecer algo similar a una verdad absoluta del universo, inherente al ser humano. Sin embargo, esto podr¨ªa no ser as¨ª. Estos asuntos son m¨¢s elusivos, densos y controvertidos de lo que parecen, y hay autores que opinan que las matem¨¢ticas que estudiamos hoy en d¨ªa son solo una entre muchas opciones, condicionada por la elecci¨®n de unas definiciones u otras a lo largo de la historia.

Las matem¨¢ticas nacieron en el entorno cotidiano, como una herramienta para operar de manera eficaz sobre cantidades que se asignaban a objetos f¨ªsicos: precios, distancias, longitudes, etc. Pero tras siglos de desarrollo, la propia disciplina se convirti¨® en objeto de estudio. Y en este proceso de abstracci¨®n fue necesario definir una base com¨²n que dotase de un car¨¢cter absoluto a la materia. Aquellos primeros l¨®gicos buscaban un fundamento universal, pero encontraron no una sino muchas respuestas, todas ellas igual de v¨¢lidas.

La l¨®gica matem¨¢tica naci¨® en el siglo XIX, a caballo entre la filosof¨ªa y las matem¨¢ticas, para buscar los principios b¨¢sicos que rigen el razonamiento matem¨¢tico y sus objetos fundamentales. A mediados del siglo XX, la corriente principal defend¨ªa que las matem¨¢ticas tratan sobre objetos abstractos, que existen independientemente del mundo sensorial y de la mente, cuyas propiedades son eternas e inmutables, de la misma forma que las ideas en la caverna de Plat¨®n. De esta forma, el n¨²mero ¡°uno¡± existe, de forma universal, igual que la idea de ¡°¨¢rbol¡± o ¡°rojo¡±. No necesitamos verlos ni tocarlos para saber lo que son (son extrasensoriales), y sus propiedades parecen ser universalmente aceptadas hasta el punto de ser objetivas.

Sin embargo, esta concepci¨®n presenta problemas. Si los objetos son independientes de la mente y del mundo sensorial, todas sus propiedades, incluso las formales, tambi¨¦n deber¨ªan serlo, y estar fijadas desde la definici¨®n. Pero los creadores del llamado an¨¢lisis no est¨¢ndar demostraron que existen diversos modelos de n¨²meros naturales, muy distintos entre s¨ª (aqu¨ª se muestra uno de ellos) y que satisfacen el sistema de axiomas de Peano (por tanto, igualmente v¨¢lidos), y con propiedades formales diferentes.

?Esto qu¨¦ significa? Recordemos la pel¨ªcula El show de Truman. Al tratar de buscar una explicaci¨®n a la vida de Truman hay dos opciones: entenderla como una ¡®vida normal¡¯ (la que ve Truman) o como un reality show (lo que ven todos los dem¨¢s). Formalmente, las explicaciones son distintas, pero las consecuencias pr¨¢cticas para la vida de Truman son equivalentes en ambas explicaciones (al comienzo de la pel¨ªcula).

En matem¨¢ticas, las consecuencias formales son tan importantes como las pr¨¢cticas. Que aparezcan resultados distintos pone en peligro la concepci¨®n de los n¨²meros naturales como objetos abstractos; ya que dependen de la construcci¨®n escogida. Siguiendo esta idea, los objetos matem¨¢ticos, de forma general, dependen del sistema escogido. Ahora bien, si no parece que no podemos establecer que un sistema es mejor que otro, ?c¨®mo se elige uno sobre el resto?

A finales del s. XVIII y principios del XIX se desarroll¨® una posible forma de evitar este problema: el estructuralismo. Esta concepci¨®n, defendida por el colectivo Bourbaki entre otros, prescinde de los objetos matem¨¢ticos y as¨ª evita atribuirles propiedades intr¨ªnsecas. En su lugar, se centra en las relaciones entre objetos. Por ejemplo, un n¨²mero par se definir¨ªa como un n¨²mero natural que es m¨²ltiplo de 2; la relaci¨®n m¨²ltiplo de da lugar a la propiedad par. Seg¨²n esta corriente, lo fundamental son las relaciones y los objetos matem¨¢ticos son tan solo el producto de estos nexos fundamentales.

Al tratar de buscar una explicaci¨®n a la vida de Truman hay dos opciones: entenderla como una vida normal (la que ve Truman) o como un reality show (lo que ven todos los dem¨¢s). Formalmente, las explicaciones son distintas, pero las consecuencias pr¨¢cticas para la vida de Truman son equivalentes en ambas explicaciones

Esta idea cambi¨® por completo el paradigma, y el estructuralismo se convirti¨® en la tendencia dominante en la filosof¨ªa de las matem¨¢ticas. Pero tambi¨¦n tiene sus detractores. Con todo, el estructuralismo mantiene que las relaciones entre objetos existen y son reales, lo que nos lleva a preguntarnos, ?qu¨¦ nos permite conocerlas? Es complicado establecer v¨ªnculos entre nuestra experiencia y estas relaciones (abstractas), lo que dificulta hallar una respuesta a esta pregunta. En contraposici¨®n, ha cogido fuerza otra corriente en la filosof¨ªa de las matem¨¢ticas, que trata de prescindir completamente de objetos, relaciones y estructuras, manteniendo, c¨®mo no, la capacidad explicativa de las matem¨¢ticas. Este ¡°antirrealismo de los entes abstractos¡± se conoce como nominalismo y es hoy la principal postura rival al estructuralismo. Cada movimiento, adem¨¢s, tiene variantes, e incluso hay propuestas para combinarlas. Aunque los l¨®gicos lleven cientos de a?os rompi¨¦ndose la cabeza, parece que el debate sobre los fundamentos matem¨¢ticos no ha hecho m¨¢s que empezar..

Patricia Contreras es estudiante de doctorado en la Universidad Complutense de Madrid y miembro del ICMAT. ?gata Tim¨®n es responsable de Comunicaci¨®n y Divulgaci¨®n del ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: "Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas".

Coordinaci¨®n: ?gata Tim¨®n.