Lo recto y lo torcido

Imaginemos un plano con solo dos puntos destacados, A y B; obviamente, su elemental diagrama de Voronoi ser¨¢ la mediatriz del segmento AB. Si se trata del plano de un pueblo en el que A y B indican la localizaci¨®n de sus farmacias, la mediatriz de AB es la frontera entre las respectivas zonas de influencia de ambas farmacias (partiendo del supuesto de que la gente acude a la que est¨¢ m¨¢s cerca de su casa).

En el caso de tres puntos no alineados, el diagrama lo forman las mediatrices de los lados del tri¨¢ngulo cuyos v¨¦rtices son dichos puntos (si los puntos est¨¢n alineados, el diagrama se reduce a dos rectas paralelas que delimitan tres franjas adyacentes). Y, en general, los diagramas se construyen trazando las mediatrices de los segmentos que unen puntos contiguos, mediatrices que, al cortarse, producen una teselaci¨®n del planto tal que todos los puntos de cada zona est¨¢n m¨¢s cerca de su punto de referencia que de cualquier otro de los puntos generadores del diagrama.

En la naturaleza, los diagramas de Voronoi aparecen por doquier, desde las manchas de la jirafa hasta los panales de las abejas, que, adem¨¢s, consiguen optimizar el rendimiento de la cera como material de construcci¨®n de sus celdillas. Pero entonces, ?por qu¨¦ nuestras estanter¨ªas y casilleros casi siempre son rectangulares en vez de hexagonales? La respuesta se insin¨²a en el p¨¢rrafo siguiente.?

Tendemos a pensar linealmente, y a concebir el tiempo mismo como una l¨ªnea recta, como los renglones de la escritura. Y nuestra visi¨®n -y percepci¨®n- del espacio es b¨¢sicamente ortogonal. Cosa perfectamente comprensible, puesto que la gravedad tira verticalmente de nosotros (define la verticalidad, para ser exacto) y la horizontalidad nos da una base estable. Como dice Le Corbusier en su Poema del ¨¢ngulo recto:

Erguido sobre el plano terrestre

de las cosas comprensibles,

contraes con la naturaleza un

pacto de solidaridad: es el ¨¢ngulo recto.

El ¨¢ngulo recto es nuestro pacto de solidaridad con la naturaleza, tambi¨¦n regida toda ella por el binomio horizontal-vertical, aunque en ella los ¨¢ngulos no suelan aparecer en su elemental desnudez, como ocurre en las construcciones humanas, desde un edificio a una caja de zapatos.

Pero la naturaleza es mucho m¨¢s compleja, y nos sorprende a veces con giros y torsiones imprevistos. Kekul¨¦ tuvo que so?ar la estructura circular del benceno, porque su mente cartesiana se obstinaba en verlo como una cadena rectil¨ªnea. Y la doble h¨¦lice del ADN exigi¨® por parte de sus descubridores una pirueta mental similar a la pirueta geom¨¦trica de los nucle¨®tidos en el seno del pol¨ªmero.

Y, como vimos la semana pasada, una nueva e inesperada torsi¨®n geom¨¦trica acaba de abrir una prometedora v¨ªa de investigaci¨®n. Se cre¨ªa que las c¨¦lulas epiteliales eran prismas, como las teselas de un mosaico (tendemos a pensar en los mosaicos como objetos planos, pero las teselas tienen un grosor considerable). Sin embargo, un equipo de la Universidad de Sevilla formado por Luisma Escudero, Clara Grima, Javier Buceta y Alberto M¨¢rquez ha demostrado que las ¡°teselas¡± epiteliales no son prismas ni pir¨¢mides truncadas sino escutoides (llamados as¨ª en honor de Escudero), cuerpos geom¨¦tricos que Clara Grima describe as¨ª: ¡°El escutoide, t¨¦cnicamente, se obtiene a partir de segmentos perpendiculares a todas las capas [del tejido epitelial] comprendidas entre la capa apical (la de arriba) y la capa basal (la de abajo). Para ello, se eligen un conjunto de puntos (semillas) en la capa apical, por ejemplo. Se trazan los segmentos perpendiculares a la capa apical en cada una de estas semillas. En cada capa comprendida entre la apical y la basal, cada segmento producir¨¢ una intersecci¨®n (una nueva semilla); a estas semillas nuevas les calculamos diagramas de Voronoi en dicha capa (de forma similar a como se hace en el plano, pero hay que adaptar algo las t¨¦cnicas). Ahora pegando?las regiones de Voronoi (que ser¨¢n pol¨ªgonos) correspondientes a todos los puntos de un mismo segmento se obtiene un escutoide¡±.

Invito a mis sagaces lectoras/es a reflexionar sobre este nuevo y fascinante objeto geom¨¦trico. Y a compartir sus reflexiones.

Carlo Frabetti?es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellosMaldita f¨ªsica,Malditas matem¨¢ticasoEl gran juego. Fue guionista deLa bola de cristal.