Diagramas de Voronoi

El n¨²mero supuestamente escrito por la mujer de Euler con el que, como ve¨ªamos la semana pasada, el gran matem¨¢tico supuestamente quiso abochornar a Diderot, es:

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Hay distintas formas de llegar a este resultado. Puesto que el n¨²mero original -llam¨¦moslo N- termina en 2, su pen¨²ltima cifra ha de ser 4, pues al pasar el 2 al primer lugar la pen¨²ltima cifra de N se convierte en la ¨²ltima de 2N. Por otra parte, la primera cifra de N ha de ser 1, pues solo as¨ª un n¨²mero del mismo n¨²mero de cifras que empieza por 2 puede ser su doble. La antepen¨²ltima cifra de N ha de ser 8 (4 x 2), la anterior 6 (8 x 2 = 16), la anterior 3 (6 x 2 = 12 y llevamos 1 de la operaci¨®n previa), y as¨ª sucesivamente hasta llegar a un 1 ¡°limpio¡± (que no sea el segundo 1 de un 11), que al multiplicarlo por 2 nos dar¨¢ un 2 sin acarreo.

En cualquier caso, y como ya se?al¨¦, la historia del duelo teol¨®gico-algebraico entre Euler y Diderot es seguramente falsa, y adem¨¢s inveros¨ªmil. La popularidad de la an¨¦cdota espuria se debe, probablemente, a que a algunos les gustar¨ªa pensar, siguiendo a Tom¨¢s de Aquino, que las mentes m¨¢s poderosas llegan a la idea de Dios mediante el puro raciocinio. En esta l¨ªnea, me viene a la memoria un viejo relato de ciencia ficci¨®n tan tramposo como significativo: En busca de San Aquino, de Anthony Boucher (es f¨¢cil encontrarlo en la red).

Un nuevo objeto geom¨¦trico

Ahora vendr¨ªa una segunda parte relacionada con lo anterior; pero, por una vez, podemos y debemos dar paso a la m¨¢s rabiosa actualidad en esta secci¨®n atemporal. No os perd¨¢is el fascinante art¨ªculo de Clara Grima publicado en esta misma p¨¢gina: Hemos descrito un nuevo objeto geom¨¦trico y lo llevas puesto. El nuevo objeto geom¨¦trico se llama escutoide (en honor de su descubridor, Luisma Escudero), y su hallazgo va unido a un inspirado ¡°retorcimiento¡± (tanto conceptual como f¨ªsico) de los prismas epiteliales que recuerda, por su brillantez e importancia, al hist¨®rico retorcimiento de la doble h¨¦lice del ADN.

Sin entrar en detalles (que encontrar¨¦is magistralmente expuestos en el art¨ªculo de Grima), el punto de partida lo constituyen los diagramas de Voronoi. Dado un recinto plano en el que hay marcados varios puntos (llam¨¦moslos impropiamente centros), un diagrama de Voronoi es una divisi¨®n del plano en tantas zonas como centros, tales que todos los puntos de una zona est¨¢n m¨¢s cerca de su centro que de cualquier otro.

Los diagramas de Voronoi planos (aplicables, pongamos por caso, a la distribuci¨®n homog¨¦nea de las farmacias de una ciudad, que es uno de los ejemplos cl¨¢sicos) son los m¨¢s conocidos, pero tambi¨¦n los hay sobre superficies curvas y en tres o m¨¢s dimensiones. Las aplicaciones de los diagramas de Voronoi son innumerables, y van desde la epidemiolog¨ªa a la geometr¨ªa computacional pasando por el f¨²tbol, y en la naturaleza los encontramos por doquier.

Y hablando de naturaleza, ?tienen algo que ver los panales de las abejas con los diagramas de Voronoi? ?C¨®mo y por qu¨¦ consiguen las industriosas abejitas sus elegantes y eficientes estructuras c¨¦reas? ?Qu¨¦ problema de m¨¢ximos y m¨ªnimos resuelven como quien no quiere la cosa?

Pero antes, y hablando de hex¨¢gonos, un ejercicio trivial para entrar en materia: dibuja el diagrama de Voronoi de los v¨¦rtices de un hex¨¢gono inscrito en una circunferencia. ?Qu¨¦ regla general se desprende de este sencillo ejercicio??

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.