Hemos descrito un nuevo objeto geom¨¦trico y lo llevas puesto

Siendo matem¨¢tica casi desde chica, como se dice en mi pueblo, he tenido que escuchar (y responder) una cantidad nada despreciable de veces preguntas como ?todav¨ªa queda algo por descubrir en matem¨¢ticas? ?Las matem¨¢ticas se crean o se descubren?

No es mi intenci¨®n en este art¨ªculo responder a la segunda pregunta en general ,porque se trata de un debate filos¨®fico demasiado profundo para estas alturas del verano y, honestamente, si me he sentado esta tarde calurosa a escribir esta nota de divulgaci¨®n es porque quiero tratar de explicarles (ojal¨¢ lo consiga) el contenido geom¨¦trico del art¨ªculo que sali¨® publicado el pasado viernes en Nature Communications y del que soy una de las autoras. Pero, en pocas palabras, a las segunda pregunta pregunta suelo responder con ¡°un poco de cada cosa¡±. Hay matem¨¢ticas que se crearon como parte de un proceso deductivo l¨®gico y que luego fueron aplicadas con ¨¦xito a explicar la naturaleza, como las geometr¨ªas no eucl¨ªdeas, y matem¨¢ticas que se descubren mir¨¢ndole a los ojos a nuestro universo.

Hoy quiero explicarles un poco de estas ¨²ltimas. Quiero presentarles un objeto geom¨¦trico, no descrito hasta ahora, que hemos descubierto mirando no a los ojos sino a las gl¨¢ndulas salivales de la mosca de la fruta. Con esto de paso respondemos tambi¨¦n a la primera pregunta: s¨ª, quedan much¨ªsimas cosas que descubrir en matem¨¢ticas porque cada vez que encontramos la respuesta a un problema, en general, aparece un ramillete maravilloso de nuevas preguntas.

Quedan much¨ªsimas cosas que descubrir en matem¨¢ticas porque cada vez que encontramos la respuesta a un problema, en general, aparece un ramillete maravilloso de nuevas preguntas

Vamos, entonces, con la mosca de la fruta. Toda esta historia comienza cuando Luisma Escudero, del Departamento de Biolog¨ªa Celular de la Universidad de Sevilla, contacta con Alberto M¨¢rquez y conmigo misma para pedirnos colaboraci¨®n en un trabajo de morfog¨¦nesis que est¨¢ llevando a cabo con su grupo de investigaci¨®n. Por cierto, morfog¨¦nesis es el proceso biol¨®gico que permite que un organismo vivo desarrolle su forma. Ellos quer¨ªan describir c¨®mo se empaquetaban las c¨¦lulas epiteliales, que son c¨¦lulas tridimensionales, y que son, cito textualmente a Luisma, ¡°los bloques de construcci¨®n con los que se forma un organismo.

Son como "piezas de Tente o Lego de los que est¨¢n hechos los animales¡±. No es que su grupo hubiera tenido la feliz idea de plantearse por primera vez esa cuesti¨®n sino que, hasta la fecha, se aceptaba que los epitelios se?constru¨ªan empaquetando prismas o pir¨¢mides truncadas, como se muestran en la figura de la izquierda.

Pero a nuestros colegas bi¨®logos, tras examinar las muestras de c¨¦lulas epiteliales de la gl¨¢ndulas salivales de la mosca de la fruta no les convenc¨ªa esta hip¨®tesis mundialmente aceptada. Bueno, al menos en los foros de biolog¨ªa celular, no sabemos de su aceptaci¨®n en Forocoches, por ejemplo.

Y ten¨ªan raz¨®n. Por eso hemos publicado en Nature Communications, claro. Hab¨ªa entonces que decidir qu¨¦ figura geom¨¦trica tridimensional es la que adoptaban las c¨¦lulas epiteliales para dar forma a los ¨®rganos. Y aqu¨ª entra en juego una estructura matem¨¢tica tan intuitiva como bella y elegante que son los diagramas de Voronoi.

As¨ª que antes de seguir con los epitelios de las moscas perm¨ªtanme que les explique qu¨¦ es un diagrama de Voronoi. No se asusten, es un concepto tan intuitivo, como ya he dicho, que lo puede entender hasta un ni?o de 3 a?os. O as¨ª al menos lo pens¨¦ yo el d¨ªa que me toc¨® ir a la clase de mi hijo cuando ten¨ªa esa edad a explicar en qu¨¦ trabajaba. Piensen que tienen en un plano, en una hoja de papel, por ejemplo, un conjunto de puntos dibujados (estos puntos podr¨ªan ser, por ejemplo, las farmacias de su ciudad se?aladas sobre un plano).

Pues bien, el diagrama de Voronoi de ese conjunto de puntos (de las farmacias) es una divisi¨®n del papel (del plano) en regiones de manera que a cada punto le asigna la regi¨®n del papel cuyos puntos est¨¢n m¨¢s cerca de ¨¦l que de ning¨²n otro. Dicho para el ejemplo de las farmacias, el diagrama de Voronoi de las farmacias de la ciudad dividir¨ªa el plano de la misma en regiones de influencia de dichos establecimientos, de tal forma que a cada farmacia le asignar¨ªa la zona de la ciudad para la que ella es la m¨¢s cercana. M¨¢s o menos, esta es la pinta que tiene un diagrama de Voronoi (zquierda).

A los ni?os del cole de Salvador se lo expliqu¨¦ con los Lunnis y caramelos. Se iban a lanzar caramelos en el patio del colegio de los Lunnis y cada uno de ellos solo podr¨ªan coger los que estuviesen m¨¢s cerca de ¨¦l que de ning¨²n otro y para ello, antes de lanzar caramelos, pint¨¢bamos en el suelo el diagrama de Voronoi de los Lunnis, para que no hubiese broncas (izquierda).

Como el concepto que da forma a los diagramas de Voronoi es la cercan¨ªa, la menor distancia, o la zona de influencia de los puntos, es muy f¨¢cil encontrar estos diagramas en la naturaleza. En una jirafa, por ejemplo.

Ya sabemos qu¨¦ es un diagrama de Voronoi, matem¨¢ticamente hablando: la divisi¨®n en zonas de influencia en presencia de unos puntos generadores (ya sean farmacias o Lunnis). Con esta idea en la cabeza podemos intuir que, dado un conjunto de puntos en el plano, si hacemos crecer unos c¨ªrculos al mismo ritmo tomando dichos puntos fijos como centro de dichos c¨ªrculos, tambi¨¦n se obtiene el diagrama de Voronoi. Esto queda ilustrado en la siguiente figura en la que se representan los c¨ªrculos creciendo como conos con la misma apertura y v¨¦rtices en los puntos a los que queremos calcular el diagrama de Voronoi (izquierda).

Ahora miramos la figura desde arriba y f¨ªjense qu¨¦ cosa tan bonita: hemos construido el diagrama de Voronoi (v¨¦ase imagen que ilustra este art¨ªculo).

Volvemos a las c¨¦lulas pero no a las epiteliales todav¨ªa, sino a c¨¦lulas planas, en 2D. Es l¨®gico pensar que as¨ª se empaquetan o se agrupan las c¨¦lulas en los tejidos planos. Porque todas crecen con ¡®la misma fuerza¡¯ desde el centro de masa de la misma. Y as¨ª es. De hecho, esta idea ya fue aprovechada por el propio Luisma Escudero y algunos colaboradores para desarrollar un modelo del empaquetamiento de las c¨¦lulas en 2D que puede servir para revolucionar el diagn¨®stico automatizado de ciertas formaciones tumorales.

Por si no se quieren leer el art¨ªculo les resumo a grandes trazos. Lo que hacen el Luisma y sus colegas es crear un modelo de tejido epitelial plano (y muscular) ideal mediante el siguiente procedimiento computacional:(1) se genera un conjunto de puntos al azar;(2) a dichos puntos se les calcula su diagrama de Voronoi;(3) se calcula el centro de masas de cada una de las regiones resultantes (esto nos proporciona un nuevo conjunto de puntos);(4) se calcula el diagrama de Voronoi del nuevo conjunto.

Repiten el proceso hasta tres veces m¨¢s. El aspecto que tiene este quinto diagrama de Voronoi calculado es el modelo de tejido ideal (puesto que todas las c¨¦lulas son similares, al expandirse, sus fronteras tienden a formar un diagrama de Voronoi). A partir de aqu¨ª los investigadores miden c¨®mo de parecido es el tejido de una muestra real del tejido modelo. Si se parecen seg¨²n ciertos par¨¢metros (geom¨¦tricos y topol¨®gicos), el tejido real est¨¢ sano; en otro caso se concluye que algunas c¨¦lulas no presentan las mismas caracter¨ªsticas f¨ªsicas que sus vecinas, lo que puede indicar el comienzo de un proceso tumoral. Ya lo s¨¦, es algo tan sorprendente como maravilloso.

Todo esto era para c¨¦lulas o tejidos en 2 dimensiones pero ?qu¨¦ pasa? Que las celulas epiteliales, como hemos dicho, son c¨¦lulas tridimensionales. Pues bien, dar el paso a estructuras tridimensionales no es, ni mucho menos, trivial (que es una de las palabras favoritas de los matem¨¢ticos, sobre todo en clase de problemas). Si se trata de generalizar lo anterior obtendr¨ªamos un diagrama de Voronoi 3D que es una estructura bien bonita tambi¨¦n pero que no se parece en nada a la organizaci¨®n que vemos en los tejidos epiteliales. Estos, los tejidos epiteliales, son como una capa gordita delimitada por dos superficies paralelas (denominadas superficies basal y apical) y de tal forma las mismas c¨¦lulas que aparecen en la basal se ven la apical. Podemos pensar, solo para hacernos una idea, en que el epitelio es una rebanada gordita de pan de molde, como las de las torrijas, a la cara de arriba la llamamos cara apical y a la de abajo cara basal. No sirve para todos los epitelios porque en algunos la rebanada se enrolla en forma de cilindro hueco pero creo que puede ayudar a entender la idea. Pues bien, cada c¨¦lula que vemos ¡®dibujada¡¯ en la cara apical aparecer¨¢ tambi¨¦n en la basal.

Ello hab¨ªa llevado, hasta el momento, a representar las c¨¦lulas de tejidos epiteliales como prismas con una base en la superficie basal y otra en la apical. Como si las c¨¦lulas fuesen muchas?cajitas api?adas que formaban la rebanada y las c¨¦lulas que se ve¨ªan en las capas exteriores fuesen las tapas de esas cajitas alargadas.

Pero no, para fortuna de los autores del art¨ªculo de Nature Communications, ese modelo no se corresponde a la organizaci¨®n de las c¨¦lulas en los tejidos epiteliales cuando lo miramos al microscopio. Se puede comprobar que hay c¨¦lulas (que nos parecer¨¢n celdas de Voronoi al mirarlas) que son vecinas, por ejemplo en la capa apical, las de la cara de arriba, que dejan de serlo en la capa basal, la de abajo. Si las c¨¦lulas fuesen prismas o pir¨¢mides truncadas esto es imposible. Tenemos que pensar que el pol¨ªgono (la celda de Voronoi) que vemos en la parte de arriba de la rebanada y el que vemos abajo deber¨ªan ser las ¡®tapas¡¯ del prisma. Pero si han cambiado su posici¨®n relativa de una capa a otra es porque el prisma se ha?retorcido por el camino. Y ah¨ª est¨¢ el problema. Desde el punto de vista geom¨¦trico los prismas (o pir¨¢mides truncadas) no modelan bien el problema; desde el punto de vista de la biolog¨ªa celular, necesitamos saber qu¨¦ c¨¦lulas est¨¢n en contacto en cada punto. En la figura siguiente, correspondiente a un epitelio cil¨ªndrico, observamos que las c¨¦lulas amarilla y azul son vecinas en la capa apical pero han dejado de serlo en la capa basal,?alguien se interpuso entre ellas (a la izquierda).

Se hace necesaria, por lo tanto, una forma geom¨¦trica que modele bien las c¨¦lulas de los tejidos epiteliales, que se pueda plegar y adoptar distintas curvaturas, cuya forma corresponda a un modelo de equilibrio de fuerzas y que vaya desde la superficie basal hasta la apical, pero sin tener que tener los mismos contactos en ambas superficies.La soluci¨®n a todo ello es el escutoide. D¨¦jenme que ponga aqu¨ª mi figura favorita del art¨ªculo; los escutoides hechos con plastilina de Luisma Escudero (izquierda).

Mon¨ªsimos, ?verdad? Por cierto, le llamamos escutoides porque fue ¨¦l, Luisma Escudero, el primero en clamar que aquello no eran prismas y en hacerlos con la plastilina de Margarita (su hija): Escu-dero-escu-toide. Cuando vimos que sal¨ªa algo muy publicable buscamos una justificaci¨®n m¨¢s formal que esta y, bueno, se parece al scutum del t¨®rax de los escarabajos de la especie Protaetia speciosa.

Curiosamente, desde que sali¨® el art¨ªculo el viernes pasado, en Twitter alguien dijo que scutoid (el nombre en ingl¨¦s) es ideal porque es una figura geom¨¦trica muy cute. A m¨ª tambi¨¦n me lo parece. Aqu¨ª les dejo uno de los dibujos que los internautas han publicado (a la izquierda, por @atheblerr).

Seguimos. El escutoide, t¨¦cnicamente, se obtiene a partir de segmentos perpendiculares a todas las capas comprendidas entre la capa apical (la de arriba) y la capa basal (la de abajo). Para ello, se eligen un conjunto de puntos (semillas) en la capa apical, por ejemplo. Se trazan los segmentos perpendiculares a la capa apical en cada uno de estas semillas. En cada capa comprendida entre la apical y la basal, cada segmento producir¨¢ una intersecci¨®n (una nueva semilla); a estas semillas nuevas les calculamos diagramas de Voronoi en dicha capa (de forma similar a como se hace en el plano, pero hay que adaptar algo las t¨¦cnicas). Ahora ¡®pegando¡¯ las regiones de Voronoi (que ser¨¢n pol¨ªgonos) correspondientes a todos los puntos de un mismo segmento se obtiene un escutoide.

Si lo que buscamos es una descripci¨®n m¨¢s simple podemos decir que un escutoide es un s¨®lido geom¨¦trico entre dos capas paralelas (la basal y la apical) de tal forma que la intersecci¨®n del escutoide en cada una de las dos capas (y en el resto de las capas intermedias tambi¨¦n) son pol¨ªgonos (lo que ser¨ªan las ¡®tapas¡¯ del escutoide). Los v¨¦rtices de estos dos pol¨ªgonos est¨¢n unidos por una curva o por una conexi¨®n en forma de Y. Las caras de los escutoides no son necesariamente convexas, pueden tener huecos hac¨ªa dentro, por lo que varios escutoides pueden empaquetarse para llenar todo el espacio entre las dos superficies paralelas. Y s¨ª, parecen un juego de salpimentero de dise?o.

?Y todo esto para qu¨¦? ?Por qu¨¦ se complica tanto la Naturaleza? La respuesta a estas preguntas viene de la mano del f¨ªsico del equipo, Javier Buceta, del Departamento de Bioingenier¨ªa de la Universidad de Lehigh. Seg¨²n el an¨¢lisis de Javier, la forma del escutoide es consistente con las fuerzas involucradas y se alcanza con ella una posici¨®n de equilibrio. Dicho de otra forma, esta estructura, el escutoide, es m¨¢s favorable para el tejido desde el punto de vista energ¨¦tico y esto es importante porque facilita adoptar formas muy diferentes, que es lo necesario para que se establezcan bien los ¨®rganos y funcionen correctamente.

Maravilloso, ?verdad?

Esta estructura escutoidal ha sido encontrada y verificada en algunos modelos b¨¢sicos de biolog¨ªa celular: las gl¨¢ndulas salivales de la mosca de la fruta, sus huevos y en c¨¦lulas de pez cebra.

Y ahora viene lo mejor: las implicaciones del trabajo. Conocer con este nivel de detalle la estructura de las c¨¦lulas epiteliales puede ser fundamental para la creaci¨®n de ¨®rganos con impresi¨®n 3D y nos permitir¨¢ identificar modelos de epitelios sanos, a partir de su geometr¨ªa, que servir¨¢n como patrones para detectar un crecimiento celular an¨®malo.

Est¨¢ mal que lo diga yo que soy una de las autoras pero el trabajo me parece tan bello como interesante, una mezcla maravillosa y elegante de disciplinas (biolog¨ªa celular, f¨ªsica y matem¨¢ticas) y qui¨¦n sabe, si una puerta abierta a nuevos avance en biomedicina.

Los nombres de todos los autores y su filiaci¨®n se pueden consultar aqu¨ª pero, b¨¢sicamente, el estudio ha sido liderado por Luisma Escudero, del Departamento de Biolog¨ªa Celular de la Universidad de Sevilla e Instituto de Biomedicina de Sevilla y su grupo de investigaci¨®n; el an¨¢lisis f¨ªsico ha estado en las manos de Javier Buceta de la Universidad de Lehigh y Alberto M¨¢rquez y la que firma, tambi¨¦n de la Universidad de Sevilla, hemos colaborado en la parte del modelo matem¨¢tico.

Disfruten del verano, ustedes y los escutoides que llevan puestos en sus epitelios.