Un famoso matem¨¢tico octogenario propone una soluci¨®n a un problema valorado en un mill¨®n de d¨®lares
Los expertos son esc¨¦pticos ante la demostraci¨®n de la hip¨®tesis de Riemann ofrecida por Michael Atiyah
El reconocido matem¨¢tico brit¨¢nico Michael Atiyah, de 89 a?os, present¨® este lunes durante una conferencia en un congreso en Heidelberg (Alemania) la supuesta soluci¨®n a uno de los problemas m¨¢s famosos de la disciplina, la demostraci¨®n de la hip¨®tesis de Riemann, mediante la que el matem¨¢tico alem¨¢n busc¨® en 1859 una soluci¨®n a la distribuci¨®n de los n¨²meros primos. El reto que dice haber resuelto es uno de los siete problemas del milenio: enigmas matem¨¢ticos cuya soluci¨®n premia el Clay Mathematics Institute (EE UU) con un mill¨®n de d¨®lares. Desde que los problemas se fijaron en el a?o 2000, solo uno ¡ªla conjetura de Poincar¨¦¡ª ha sido desentra?ado.
?Qu¨¦ es la hip¨®tesis de Riemann?
A mediados del siglo XIX y en tan solo ocho p¨¢ginas, el c¨¦lebre matem¨¢tico alem¨¢n Bernard Riemann traz¨® la hoja de ruta para entender la distribuci¨®n de los n¨²meros primos. En concreto, Riemann quer¨ªa responder a la pregunta: ?cu¨¢ntos primos hay menores que un n¨²mero entero dado n? Cincuenta a?os despu¨¦s, y siguiendo el plan de Riemann, los matem¨¢ticos franceses Hadamard y De la Valle¨¦-Poussin lograron demostrar que ese n¨²mero est¨¢ bien aproximado por el cociente n/(log(n)), ?pero cu¨¢l es el error relativo que estamos cometiendo con esta aproximaci¨®n? ?Cu¨¢l es su estimaci¨®n ¨®ptima? La hip¨®tesis de Riemann (RH), formulada tambi¨¦n en ese maravilloso art¨ªculo de ocho p¨¢ginas, es la respuesta precisa: seg¨²n (RH) el tama?o del error relativo decrece?casi como el inverso de la "ra¨ªz cuadrada de n" y esa es su mejor estimaci¨®n.
Una formulaci¨®n equivalente se refiere a la llamada funci¨®n zeta de Riemann, definida sobre los n¨²meros complejos. Recordemos que un n¨²mero complejo lo escribimos en la forma z = x+yi (i=raiz cuadrada de -1), donde los n¨²meros reales x e y son respectivamente su parte real y su parte imaginaria. Seg¨²n la HR, dentro de la llamada banda cr¨ªtica, 0
Atiyah ha recibido por trabajos previos la medalla Fields y el premio Abel, galardones que a menudo se consideran equivalentes a los premios Nobel en el campo de las matem¨¢ticas. Su charla de este lunes provoc¨® gran expectaci¨®n porque ya en el programa del congreso se advert¨ªa de que presentar¨ªa una ¡°demostraci¨®n simple¡± de la hip¨®tesis de Riemann a trav¨¦s de una nueva aproximaci¨®n radical. Sin embargo, los expertos contactados por Materia, tras consultar un documento filtrado de cinco p¨¢ginas con la firma de Atiyah en el cual expone su demostraci¨®n, dudan o rechazan que el matem¨¢tico haya alcanzado una soluci¨®n.
Ricardo P¨¦rez Marco, uno de los mayores expertos en la hip¨®tesis de Reimann, asegura que es muy f¨¢cil pasar por alto errores en este problema y que el manuscrito de Atiyah ¡°no es preciso y no est¨¢ completo¡±. ¡°A mi me env¨ªan [supuestas] demostraciones de la hip¨®tesis de Riemann todos los meses, pero esta hace m¨¢s ruido porque Atiyah es conocido. Sinceramente, no creo que tengamos una demostraci¨®n aqu¨ª¡±, zanja el matem¨¢tico. Atiyah todav¨ªa no ha publicado su demostraci¨®n en una revista cient¨ªfica ni en el repositorio de manuscritos matem¨¢ticos Arxiv.
Antonio C¨®rdoba, director del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), se muestra cauto: ¡°Por lo que he podido observar en el v¨ªdeo de la presentaci¨®n de Atiyah, su conferencia estaba dirigida a un p¨²blico general. No me ha sido posible sacar en claro el nudo de su demostraci¨®n, quiz¨¢s porque no era la intenci¨®n de Atiyah ofrecer los detalles necesarios dada la naturaleza de su audiencia. Espero, por tanto, a que la presentaci¨®n se haga ante el foro adecuado de expertos que no necesiten tanto de los pre¨¢mbulos y s¨ª de los argumentos precisos¡±, dice. Y a?ade: ¡°En cuanto al escrito de cinco p¨¢ginas atribuido a Atiyah, tampoco me parece que tenga el nivel que se exige habitualmente en una publicaci¨®n matem¨¢tica¡±.
La hip¨®tesis debe su nombre al alem¨¢n Bernhard Riemann (1826-1866) y tiene implicaciones para la comprensi¨®n de la distribuci¨®n de los n¨²meros primos, lo que, a su vez, puede tener repercusiones para las t¨¦cnicas de seguridad inform¨¢tica. Para muchos expertos, este problema centenario es el m¨¢s importante de todos. ¡°Existe un gran n¨²mero de teoremas que ser¨ªan ciertos si es que la hip¨®tesis de Riemann lo es¡±, se?ala C¨®rdoba. ¡°Es uno de los m¨¢s importantes objetos del deseo matem¨¢tico¡±.
La soluci¨®n de la hip¨®tesis de Riemann puede tener repercusiones para las t¨¦cnicas de seguridad inform¨¢tica
Cuenta la leyenda que a principios del siglo XX, el matem¨¢tico brit¨¢nico Godfrey Hardy escribi¨® una postal a su amigo Harald Bohr en la que aseguraba haber encontrado la soluci¨®n. Se embarcaba en un viaje tormentoso por el mar del Norte y Hardy, aunque era ateo, razon¨® que un dios no permitir¨ªa que se ahogase para dejar al mundo dudando si hab¨ªa sido el genio que demostr¨® la hip¨®tesis. Lleg¨® a buen puerto, sin haber solucionado el problema, por supuesto. Tambi¨¦n el famoso matem¨¢tico alem¨¢n David Hilbert afirm¨®, en respuesta a una pregunta, que si reviviese en 500 a?os, lo primero que har¨ªa ser¨ªa preguntar si alguien hab¨ªa demostrado la hip¨®tesis de Riemann.
¡°Si resuelves la hip¨®tesis de Riemann te vuelves famoso. Si ya eres famoso, te vuelves infame¡±, dijo Atiyah durante su charla. ¡°Nadie se cree ninguna prueba de la hip¨®tesis de Riemann por su gran dificultad. Nadie la ha demostrado. ?Por qu¨¦ iban a demostrarla ahora? A menos que tengas una nueva idea, claro¡±, a?adi¨®. Atiyah propone su demostraci¨®n de la hip¨®tesis de Riemann haciendo alusi¨®n a un concepto sacado de la f¨ªsica, la funci¨®n de Todd. Esgrime por reducci¨®n al absurdo que si hubiera un contraejemplo que refutase la hip¨®tesis de Riemann, entonces habr¨ªa una contradicci¨®n en la funci¨®n de Todd y a partir de ello concluye que Riemann ten¨ªa raz¨®n.
En la charla, el matem¨¢tico dedic¨® poco tiempo a su demostraci¨®n. Hizo primero un repaso de la historia de la confrontaci¨®n de los matem¨¢ticos con los n¨²meros primos y se?al¨® que la hip¨®tesis de Riemann ofrec¨ªa la mejor posibilidad de encontrar una estructura en la distribuci¨®n de los mismos. Al final, alguien del p¨²blico le pregunt¨® a Atiyah si estaba seguro de que ganar¨ªa el mill¨®n de d¨®lares. Atiyah afirm¨® que lo estaba.
¡°Solo cabe esperar que nos provea con un manuscrito legible que supere la revisi¨®n de los expertos. Solo cuando ese proceso se haya completado podremos saber si tenemos, o no tenemos, humo blanco en este asunto¡±, concluye C¨®rdoba.
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