Planetas y pompas de jab¨®n

No es dif¨ªcil calcular el di¨¢metro del n¨²cleo terrestre conociendo su densidad, la del manto y la densidad media de la Tierra (que, dicho sea de paso, es la mayor del Sistema Solar: 5,5). Incluso sobran los datos sobre la corteza, pues es tan fina que podemos despreciarla. Eso es lo que tienen en com¨²n la Tierra, un globo y una pompa de jab¨®n: la delgadez y fragilidad de sus respectivas ¡°pieles¡±. Y el principal objetivo del problema planteado la semana pasada era poner de manifiesto la extremada delgadez relativa de la corteza terrestre: si la Tierra fuera del tama?o de un bal¨®n de f¨²tbol, la corteza ser¨ªa tan fina como una c¨¢scara de huevo. De ah¨ª que podamos despreciarla y resolver el problema ¡°a la manera de Fermi¡±, como hace nuestro ¡°usuario destacado¡± Manuel Amor¨®s:

¡°Una forma de calcular aproximadamente la soluci¨®n ser¨ªa percatarse de la estrechez de la corteza comparada con el radio de la Tierra, y despreciar dicha capa. Con las dos inc¨®gnitas x el radio interior e y el radio total, obtenemos enseguida que y3=3.5x3. Como la ra¨ªz c¨²bica de 3.5 es aproximadamente 1.5, deducimos que x es 2/3 del radio de la Tierra¡±.

Astros, pompas y globos

Tanto un planeta -u otro astro- como un globo o una pompa de jab¨®n adoptan la forma esf¨¦rica (ligeramente distorsionada en el caso del globo a causa del pitorro de hinchado) porque las fuerzas implicadas los obligan a maximizar la relaci¨®n volumen/superficie, y la esfera es el s¨®lido con menor superficie para un volumen dado. Las fuerzas no son las mismas, pero obtienen el mismo resultado: la gravedad en el caso de los astros, la tensi¨®n superficial del agua en el de las pompas, y la presi¨®n atmosf¨¦rica en equilibrio con la elasticidad de la goma) en el caso de los globos.

Las pompas de jab¨®n son objetos fascinantes desde el punto de vista f¨ªsico y matem¨¢tico, como veremos en alguna futura entrega. Su esfericidad casi perfecta, como se?alaba un lector, contrasta con la consabida silueta de las gotas de agua, que tambi¨¦n deben su forma a la tensi¨®n superficial. ?Por qu¨¦ son geom¨¦tricamente distintas?

Y los familiares globos infantiles, ya sea llenos de aire o de helio, tambi¨¦n pueden ser muy instructivos, a la par que sorprendentes. ?Qu¨¦ pasa si enfocamos un globo con un ventilador y hacemos incidir sobre ¨¦l su chorro de aire?

Otro comportamiento contraintuitivo de los globos podemos observarlo en el interior de un coche en marcha:

En el asiento trasero de tu autom¨®vil, que conduces a velocidad uniforme por un tramo de carretera rectil¨ªneo, un ni?o sostiene por su hilo un globo lleno de helio que flota rozando el centro del techo. De pronto giras a la derecha; ?qu¨¦ hace el globo?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal