Las matem¨¢ticas que describen la forma de la costa

El 14 de octubre de 2010 falleci¨® el matem¨¢tico franc¨¦s Benoit Mandelbrot, que fue la cabeza visible de la llamada teor¨ªa de los fractales. Mandelbrot desarroll¨® una actividad multidisciplinar reconocida en varios ¨¢mbitos cient¨ªficos, pero gran parte de su fama p¨²blica se debe a que uno de los conjuntos fractales (t¨¦rmino que acu?¨®) m¨¢s representados lleva su nombre.

No hay una definici¨®n universalmente aceptada de fractal, pero pr¨¢cticamente todos los autores ligan este t¨¦rmino a alguna forma de autosemejanza y a dimensiones fraccionarias. La autosemejanza es la propiedad que garantiza que se conserva la misma estructura a diferentes escalas. Un ejemplo que es f¨¢cil de encontrar en el mercado es el br¨¦col romanesco. Cada peque?a porci¨®n de este vegetal reproduce su forma global. Ejemplos m¨¢s simples son las ramas de un ¨¢rbol o los vasos sangu¨ªneos, en los que las divisiones m¨¢s peque?as son un modelo a escala de las m¨¢s grandes. En un plano m¨¢s abstracto, est¨¢ el tri¨¢ngulo de Sierpinski. Si en un tri¨¢ngulo equil¨¢tero marcamos la mitad de cada lado, al unir marcas en lados opuestos el tri¨¢ngulo quedar¨¢ dividido en cuatro. Descartemos el central, el que est¨¢ invertido, y repitamos el proceso indefinidamente con los tres tri¨¢ngulos restantes. El resultado es un conjunto que observado con una lupa de cualquier aumento tiene el mismo aspecto.

La dimensi¨®n es un concepto m¨¢s esquivo. Normalmente consideramos la dimensi¨®n como el n¨²mero de par¨¢metros que necesitamos para describir algo. As¨ª decimos que el espacio es tridimensional porque necesitamos tres coordenadas, largo, ancho y alto para indicar cada punto. Esta noci¨®n de dimensi¨®n no describe bien el caso de objetos rugosos, en los que se dan cambios muy abruptos. En este caso, la dimensi¨®n puede dejar de ser un n¨²mero entero y convertirse en un valor fraccionario.

Mandelbrot estudi¨® esta situaci¨®n en uno de sus art¨ªculos m¨¢s conocidos: How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension?(asequible para cualquiera con conocimientos de bachillerato). Al medir la longitud de una costa muy irregular, el resultado depender¨¢ del tama?o de la regla de medir utilizada. Si se usa una muy peque?a, todos los recovecos har¨¢n que la longitud aumente considerablemente. Eso es bien diferente de lo que ocurrir¨ªa para una curva suave como una circunferencia (en la que siempre obtendremos en el l¨ªmite el consabido 2 pi R). La costa de Gran Breta?a, afirmaba Mandelbrot, ven¨ªa modelada por un objeto geom¨¦trico llamado fractal. Es una curva, en el sentido de que se puede describir con una funci¨®n continua, pero la dimensi¨®n de su imagen no es unidimensional, en alg¨²n sentido, como lo es en una curva suave.

La dimensi¨®n fractal queda determinada por la variaci¨®n de la longitud medida, en t¨¦rminos de la variaci¨®n de la regla. Se dice que una curva tiene dimensi¨®n D si los valores obtenidos al multiplicar la longitud medida por una potencia D-1 de la longitud de la regla usada se van acercando a una constante para reglas peque?as. Para dimensi¨®n D = 1 hay independencia de la regla, siempre que sea peque?a, mientras que para dimensi¨®n D=3/2, cada vez que reduzcamos la regla a la cuarta parte, la longitud medida se multiplicar¨¢ por dos. En su art¨ªculo, Mandelbrot afirma que la dimensi¨®n fractal de la costa de Gran Breta?a es 1,25, un valor ¡°m¨¢s fractal¡± que, por ejemplo, el de la frontera entre Espa?a y Portugal (que es 1,14 seg¨²n datos del matem¨¢tico ingl¨¦s Lewis Fry Richardson).

M¨¢s all¨¢ de su aplicabilidad en ¨¢reas como la medicina o las comunicaciones, los fractales han tenido un notable ¨¦xito popular, que radica en que poseen una belleza visual inmediata basada en las simetr¨ªas, como la de la obra de M.C. Escher. Esta popularizaci¨®n de im¨¢genes fractales est¨¢ sin ninguna duda ligada al desarrollo de la inform¨¢tica. Hoy en d¨ªa es tan sencillo generarlas en cualquier ordenador (reiterando millones de veces el proceso que da lugar a la autosemejanza), que no sorprende que las im¨¢genes hayan viajado de los textos universitarios de matem¨¢ticas a las carpetas de los adolescentes pasando por infinidad de soportes digitales.

Fernando Chamizo es profesor titular de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y miembro del ICMAT.??gata Tim¨®n es responsable de Comunicaci¨®n y Divulgaci¨®n del ICMAT

Caf¨¦ y Teoremas?es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: "Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas".

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata Tim¨®n (ICMAT)