El copo de nieve de Koch
Uno de los primeros y m¨¢s sencillos objetos fractales plantea una desconcertante paradoja
La semana pasada nos pregunt¨¢bamos por el m¨¦todo de construcci¨®n del n¨²mero (normal) de Copelan-Erd?s: 0,235711131719232931374143¡
Se trata, sencillamente, de encadenar por orden creciente los n¨²meros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23¡
En el primer paso, a la alfombra de Sierpinski le quitamos 1/9 de su ¨¢rea, por lo que quedan 8/9; en el siguiente paso, eliminamos 1/9 de estos 8/9, con lo que quedan 82/92¡ En el paso n-simo, y tomando como unidad el ¨¢rea del cuadrado inicial, la superficie remanente ser¨¢ (8/9)n. Es una progresi¨®n geom¨¦trica decreciente de raz¨®n 8/9, por lo que el ¨¢rea de la alfombra tiende a 0. ?Significa esto que la alfombra sencillamente desaparece? ?Qu¨¦ queda, si es que queda algo?
Sierpinski tambi¨¦n dio nombre a otro objeto fractal: un tri¨¢ngulo equil¨¢tero (u otro cualquiera) al que le quitamos el tri¨¢ngulo que se forma al unir los puntos medios de sus lados, y vamos haciendo lo mismo, sucesiva e indefinidamente, con los tri¨¢ngulos que van quedando. ?Cu¨¢l es la pauta de decrecimiento? ?En qu¨¦ se asemeja el tri¨¢ngulo de Sierpinski a la alfombra, y en qu¨¦ se diferencia? ?Tiene alguna relaci¨®n con el tri¨¢ngulo de Pascal?
El tri¨¢ngulo de Koch
Si en vez de quitarle a un tri¨¢ngulo inicial triangulitos cada vez m¨¢s peque?os se los vamos a?adiendo, obtenemos uno de los primeros y m¨¢s conocidos objetos fractales: el copo de nieve de Koch, descubierto en 1904 por el matem¨¢tico sueco Helge von Koch.
La construcci¨®n es muy sencilla: dividimos cada lado de un tri¨¢ngulo equil¨¢tero en tres segmentos iguales, y sobre cada segmento central construimos otro tri¨¢ngulo equil¨¢tero (con lo que obtenemos la silueta de una estrella de David), y as¨ª sucesiva e indefinidamente. ?Puedes calcular el ¨¢rea de este objeto fractal? ?Y la longitud de la l¨ªnea cerrada que envuelve dicha ¨¢rea?
Como an¨¦cdota curiosa, hay otro tri¨¢ngulo de Koch que no tiene nada que ver con el matem¨¢tico sueco ni con los fractales: una zona triangular de la aur¨ªcula derecha del coraz¨®n humano a la que dio nombre el famoso bacteri¨®logo alem¨¢n Robert Koch (el descubridor de la bacteria de la tuberculosis, denominada en su honor ¡°bacilo de Koch¡±).
Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.
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