El andar del borracho

En la afirmaci¨®n ¡°En ezta frase ay quatro errores¡±, mencionada la semana pasada, hay tres errores gramaticales; pero tambi¨¦n hay un error de concepto, puesto que los errores solo son tres, por lo que hay cuatro errores, y Ian Stewart considera que una frase de este tipo es una falsa falacia (lo que ¨¦l llama ycallaf); pero es verdadera en la medida en que es falsa, por lo que m¨¢s bien es una falacia parad¨®jica -o una paradoja sin m¨¢s- directamente emparentada con la paradoja del mentiroso.

Al comprobar que dos relojes de p¨¦ndulo colgados de la misma pared sincronizaban sus oscilaciones, pero perd¨ªan la sincronizaci¨®n al colgarlos en paredes opuestas, Huygens lleg¨® a la conclusi¨®n de que el fen¨®meno se deb¨ªa a alg¨²n movimiento imperceptible de la pared. Y as¨ª era: ese movimiento imperceptible era la leve vibraci¨®n transmitida a la pared por la oscilaci¨®n de los p¨¦ndulos.

Como vimos, el matem¨¢tico y divulgador Ian Stewart ha estudiado el fen¨®meno de la sincronizaci¨®n de osciladores y su relevancia en el campo de la biolog¨ªa. Por ejemplo, las c¨¦lulas del miocardio se sincronizan para optimizar la funci¨®n bombeadora del m¨²sculo card¨ªaco, y en una manada de elefantes los individuos acompasan sus andares debido a la vibraci¨®n del suelo al ser percutido por sus poderosas pezu?as. ?Tiene algo que ver todo esto con la resonancia, de la que nos ocup¨¢bamos hace unas semanas?

El rey borracho

En el extremo opuesto de la ambulaci¨®n sincronizada de los elefantes, los andares err¨¢ticos de un borracho, cuyos pasos son impredecibles; aunque no por ello escapan al an¨¢lisis matem¨¢tico. De hecho, el andar del borracho es una met¨¢fora recurrente para aludir a cierto tipo de fen¨®menos aleatorios. Veamos un ejemplo simple, un ¡°borracho binario¡± que solo puede dar pasos hacia delante y hacia atr¨¢s y lo hace de forma aleatoria. Es f¨¢cil modelizar a este borracho imaginario mediante, por ejemplo, un rey de ajedrez situado en su casilla de salida sobre el tablero vac¨ªo y una moneda que lanzamos al aire; si sale cara, el rey se desplaza una casilla a la derecha; si sale cruz, se desplaza una casilla a la izquierda. ?Cu¨¢l es la probabilidad de que, al cabo de tres tiradas, el rey borracho haya llegado al borde del tablero? ?Y la probabilidad de que haya vuelto al punto de partida? Y si en la fila, en vez de solo ocho casillas, hubiera un n¨²mero ilimitado en ambas direcciones y lanz¨¢ramos la moneda una infinidad de veces, ?d¨®nde acabar¨ªa el rey?

Para terminar, una sencilla variaci¨®n sobre el mismo tema: Ana y Berta juegan a cara o cruz. Si sale cara, Ana se anota un punto, y si sale cruz se lo anota Berta. Gana la que le saque tres puntos de ventaja a la otra, y si al cabo de diez lanzamientos ninguna de las dos lo ha conseguido, se considera empate. ?Cu¨¢l es la probabilidad de que gane Ana?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal