La superelipse de Hein

La partida de Hex sobre un tablero reducido de 5 x 5 que vimos la semana pasada no era veros¨ªmil, pues en la jugada anterior las negras podr¨ªan haber impedido que se completara la cadena de las blancas a la vez que creaban una posici¨®n ganadora.

Es f¨¢cil encontrar una estrategia ganadora para el primer jugador en tableros reducidos. Por ejemplo, en el tablero de 5 x 5 el primer jugador gana f¨¢cilmente ocupando la casilla central en su jugada inicial (aunque no de la forma que se ve en el ejemplo de la semana pasada). Pero en el tablero de 11 x 11 hay un n¨²mero tan astron¨®micamente grande de posibilidades que no se conoce una estrategia ganadora. Sin embargo, en 1949 John Nash, que al parecer reinvent¨® el juego independientemente de Piet Hein, demostr¨® que tal estrategia tiene que existir; resumido (la demostraci¨®n rigurosa es algo m¨¢s complicada), su razonamiento es el siguiente: supongamos que el segundo jugador tiene ventaja; en ese caso, el primer jugador no tiene m¨¢s que hacer una jugada inicial irrelevante y luego adoptar la estrategia del segundo, puesto que una ficha propia de m¨¢s en el tablero no puede ser un inconveniente.

La ¡°prueba de existencia¡± de Nash parte del supuesto de que uno de los jugadores ha de ganar necesariamente, y, de hecho, el empate es inconcebible en la pr¨¢ctica; pero ?es te¨®ricamente imposible?

De la superelipse al superhuevo

Como es bien sabido, la circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro, que es el centro. Y en el caso de la elipse, es la suma de distancias a otros dos puntos, llamados focos, lo que permanece constante para todos los puntos de la curva.

La f¨®rmula de la elipse es x²/a² + y²/b² = 1. Si a = b, la f¨®rmula se convierte en x² + y² = a², y la elipse, en una circunferencia de radio a. Y del mismo modo que la circunferencia se puede considerar un caso particular de la elipse, podemos considerar que la elipse es un caso particular de una familia de curvas de la forma xⁿ/aⁿ + yⁿ/bⁿ = 1. De hecho, as¨ª lo consider¨® el matem¨¢tico franc¨¦s Gabriel Lam¨¦, que dio nombre a estas curvas (tambi¨¦n llamadas superelipses) y las estudi¨® a mediados del siglo XIX.

Cien a?os despu¨¦s, el escritor e ingeniero dan¨¦s Piet Hein, el inventor del Hex, estudi¨® una curva de Lam¨¦ en particular: la de exponente n = 2.5, con a = 4 y b = 3, y la aplic¨® al dise?o de mesas y otros muebles, as¨ª como al trazado de una rotonda en una plaza rectangular de Estocolmo. La elipse convencional parecer¨ªa la primera opci¨®n, por una sencilla regla de tres: circunferencia es a cuadrado como elipse a rect¨¢ngulo. ?Qu¨¦ ventaja tiene la superelipse de Hein sobre la elipse? ?Qu¨¦ ocurre a medida que aumenta el exponente n?

Haciendo girar su superelipse alrededor de su eje mayor, Hein obtuvo un interesante superelipsoide, denominado ¡°superhuevo¡±, que ha sido reproducido a muy distintos tama?os, como objeto de regalo y como escultura, y que posee una sorprendente propiedad que no comparte con su primo el elipsoide de revoluci¨®n. ?Cu¨¢l?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.