Matem¨¢ticas para describir las vibraciones de las mol¨¦culas

Todo el mundo sabe que las mol¨¦culas est¨¢n compuestas por ¨¢tomos, y estos por n¨²cleos y electrones. Sin embargo, es mucho menos conocido que todos ellos est¨¢n en perpetuo movimiento, incluso a las temperaturas m¨¢s bajas posibles. Estas complejas danzas moleculares, similares a coreograf¨ªas de ballet, se estudian en una disciplina llamada din¨¢mica molecular. Es una rama de la ciencia pr¨®xima a la mec¨¢nica celeste, que por su parte analiza los bailes de los cuerpos celestes, al comp¨¢s de las fuerzas gravitatorias. De hecho, ambas disciplinas comparten m¨¦todos y teor¨ªas.

Cada combinaci¨®n de ¨¢tomos s¨®lo es capaz de ejecutar una danza espec¨ªfica, con un ritmo que se repite peri¨®dicamente en el tiempo. Las correspondientes frecuencias constituyen una huella dactilar inequ¨ªvoca que sirve, por ejemplo, para detectar los explosivos o drogas que pueda haber en equipajes de aeropuertos o paquetes. Describir las danzas es clave, por tanto, para caracterizar cada una de las sustancias.

Para estudiarlas es importante tener en cuenta el escenario en el que tienen lugar. Son los llamados paisajes moleculares, descritos por hipersuperficies de m¨²ltiples dimensiones que expresan la energ¨ªa relativa de cada configuraci¨®n de ¨¢tomos en la mol¨¦cula. Tienen una topograf¨ªa compleja formada por valles y collados, cuestas y pendientes.

Los valles corresponden a estados moleculares estables. En ellos los n¨²cleos act¨²an como si estuvieran unidos por muelles el¨¢sticos y vibran todos al un¨ªsono. El movimiento de los n¨²cleos sigue una forma muy regular (descrita por objetos matem¨¢ticos denominados toros, iguales a los donuts de nuestro desayuno). A medida que aumenta la excitaci¨®n, por ejemplo, al aportar calor o energ¨ªa con un l¨¢ser, los n¨²cleos se separan de los valles, torn¨¢ndose sus movimientos m¨¢s complicados (anarm¨®nicos). Esta complicaci¨®n aumenta, hasta que se vuelven ca¨®ticos e impredecibles, igual que el tiempo atmosf¨¦rico.

Matem¨¢ticamente, esta transici¨®n del orden de los toros al caos puede analizarse a trav¨¦s de teoremas de la moderna teor¨ªa de sistemas din¨¢micos, desarrollados en la segunda mitad del siglo XX. Si la excitaci¨®n es todav¨ªa mayor, algunos ¨¢tomos tendr¨¢n energ¨ªa suficiente para sobrepasar los distintos collados del paisaje molecular y explorar otros valles del mismo, produci¨¦ndose de esta forma las reacciones qu¨ªmicas. Las reacciones qu¨ªmicas suceden en tiempos muy cortos, del orden del femtosegundo, que es igual a la milbillon¨¦sima parte de un segundo.

Es posible determinar de forma precisa la velocidad de la reacci¨®n, gracias a una teor¨ªa geom¨¦trica que emplea t¨¦cnicas matem¨¢ticas similares a las anteriores, tambi¨¦n derivadas de la mec¨¢nica celeste. Esta teor¨ªa se basa en un objeto denominado NHIM (del ingl¨¦s normally hyperbolic invariant manifold), que determina que en el estado de transici¨®n intermedio, entre reactivos y productos, hay al menos una direcci¨®n con movimiento irregular o ca¨®tico que gobierna la reacci¨®n. El NHIM tiene propiedades importantes como su robustez, lo que significa que no es destruido (aunque s¨ª puede ser modificado) por agentes exteriores (por ejemplo, un l¨¢ser).

Esta ¨²ltima propiedad permite utilizar l¨¢seres para el control preciso y espec¨ªfico de reacciones qu¨ªmicas, haciendo que estas transcurran en la direcci¨®n deseada, de la misma forma que un cirujano utiliza su bistur¨ª en una operaci¨®n quir¨²rgica. En esta situaci¨®n, la frecuencia del l¨¢ser (relacionada con su color), se incorpora como un elemento m¨¢s de la danza molecular haciendo que esta cambie. Para desarrollar y aplicar esta herramienta (y otras) de forma efectiva, son fundamentales las t¨¦cnicas matem¨¢ticas presentadas, que dan cuenta de c¨®mo es la din¨¢mica en las mol¨¦culas, c¨®mo ocurre la transferencia de energ¨ªa entre ellas o las caracter¨ªsticas del estado de transici¨®n.

Florentino Borondo es catedr¨¢tico en el Departamento de Qu¨ªmica de la Universidad Aut¨®noma y miembro del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT)

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: "Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas".

Edici¨®n y coordinaci¨®n:?gata Tim¨®n (ICMAT).

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