Vida (matem¨¢tica) de una gota

Es posible que este art¨ªculo lo est¨¦ leyendo en una piscina. Quiz¨¢s se acerque a usted un gracioso ba?ista y mientras est¨¢ absorto en su lectura, le salpique con una pistola de agua. Si est¨¢ usted cerca de la pistola, habr¨¢ recibido un chorro, y si estaba lejos, habr¨¢n sido unas gotas. ?En qu¨¦ punto la masa de agua pasa de una forma a otra? ?Por qu¨¦ decide un chorro de agua dividirse en gotitas esf¨¦ricas? ?Por qu¨¦ no se forman gotas c¨²bicas o poli¨¦dricas? El chorro se rompe en busca de un estado de m¨ªnima energ¨ªa, y resulta que la esfera es la configuraci¨®n que, para un volumen dado, tiene m¨ªnima superficie. En el caso del agua, la energ¨ªa se asocia a las fuerzas de tensi¨®n superficial, introducidas por Simon Laplace y Thomas Young a principios del siglo XIX, y que hacen por ejemplo que una aguja cuidadosamente depositada sobre el agua no se hunda. Y esta energ¨ªa es proporcional al ¨¢rea que encierra el fluido. Cuanto menor ¨¢rea, menos energ¨ªa.

Pero, ?c¨®mo se pasa del chorro cil¨ªndrico a las gotas? Esta transici¨®n implica la desconexi¨®n de las ¨²ltimas a trav¨¦s de un proceso un tanto traum¨¢tico en el que cantidades geom¨¦tricas, como la curvatura, y f¨ªsicas, como la velocidad del fluido, crecen enormemente. Cuando ocurre la desconexi¨®n se forma una singularidad. La naturaleza de esta singularidad s¨®lo pudo ser descrita en 1993, mediante una combinaci¨®n de t¨¦cnicas anal¨ªticas y num¨¦ricas. El cuidadoso an¨¢lisis matem¨¢tico de las singularidades es de gran ayuda a la comprensi¨®n del fen¨®meno, ya que los m¨¦todos num¨¦ricos que se emplean de forma generalizada para resolver de los problemas de mec¨¢nica de fluidos, fallan o dejan de ser fiables en ellas.

Estas cuestiones han alcanzado un gran inter¨¦s en los ¨²ltimos tiempos debido a la aparici¨®n de t¨¦cnicas de ¡°electr¨®nica impresa¡±, con las que producir dispositivos, como pantallas y c¨¦lulas solares, flexibles y de muy bajo coste. La idea principal es construir los elementos del circuito el¨¦ctrico mediante la deposici¨®n de gotas, que se separan de chorros producidos por peque?os eyectores. Es necesario conocer y controlar los procesos descritos arriba para producir gotas del tama?o preciso y, sobre todo, evitar la aparici¨®n de secuencias de gotitas de tama?os indeseados, llamadas gotas sat¨¦lite, que son bastante comunes en la mec¨¢nica de fluidos. Las gotas sat¨¦lite se presentan a menudo formando estructuras iteradas, es decir, cada sat¨¦lite est¨¢ rodeado de subsat¨¦lites m¨¢s peque?os, que tienen a su vez sus propios subsat¨¦lites, parecidas a las de un conjunto de estructura fractal, el llamado conjunto de Cantor. El a?o pasado propusimos una explicaci¨®n de la tendencia natural hacia la generaci¨®n de dichas estructuras, con vistas a su supresi¨®n en las aplicaciones.

Una vez las gotas alcanzan la superficie a imprimir, su energ¨ªa cin¨¦tica se emplea en extenderlas paralelamente a la superficie, donde quedan depositadas ocupando una cierta regi¨®n. Es fundamental conocer el tama?o y forma de la misma, en t¨¦rminos de la velocidad de la gota, viscosidad del fluido, etc. El proceso de choque con la superficie involucra de nuevo la formaci¨®n de singularidades, asociadas al brusco cambio de direcci¨®n de la velocidad de las part¨ªculas de la gota. En 2010, tras enormes esfuerzos te¨®ricos, num¨¦ricos y experimentales, se consiguieron f¨®rmulas cerradas para determinar el tama?o y forma de la gota. Una de las aplicaciones m¨¢s curiosas de estas f¨®rmulas es en ciencia forense: hoy en d¨ªa es posible determinar detalles como la ubicaci¨®n y posici¨®n de la v¨ªctima de un crimen a partir de la forma de las salpicaduras de sangre.

Volvamos a las pantallas flexibles. Finalmente, la gota depositada se seca mediante evaporaci¨®n. Lo normal es que las gotas lleven materiales activos (semiconductores, por ejemplo) en disoluci¨®n. Uno desear¨ªa que cuando la gota se seque, dichos materiales queden distribuidos de la forma m¨¢s homog¨¦nea posible para evitar imperfecciones que afecten al rendimiento del dispositivo. Normalmente, no es el caso, debido al problema llamado ¡°de la mancha de caf¨¦¡±: cuando la gota se seca, las part¨ªculas tienden a concentrarse en el borde formando un anillo caracter¨ªstico, que cualquiera puede observar derramando un poco de su pr¨®ximo caf¨¦. De nuevo, esto tiene que ver con singularidades que se generan en el borde que hacen que haya un flujo muy elevado de part¨ªculas hacia ¨¦l. El conocimiento y control del fen¨®meno, con vistas a evitarlo, es otra ¨¢rea muy activa de investigaci¨®n en estos momentos.

Esta peque?a sucesi¨®n de dramas, en forma de singularidades, por los que atraviesa la gota ilustra bastante bien el trabajo en matem¨¢tica aplicada: partiendo de problemas del mundo real, usamos la artiller¨ªa anal¨ªtica y num¨¦rica a nuestro alcance para aportar informaci¨®n, t¨¦cnicas y m¨¦todos que puedan ayudar a la comprensi¨®n de los fen¨®menos involucrados. En esta interacci¨®n entre matem¨¢ticas y aplicaciones es fundamental el contacto continuo con ingenieros y experimentalistas que, aparte de dar pistas para los estudios te¨®ricos y sugerir cuestiones de inter¨¦s, nos permiten contrastar nuestras conclusiones con lo que ocurre en la realidad e ir as¨ª afinando y mejorando los modelos matem¨¢ticos.

Marco Fontelos es investigador del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT)