Matem¨¢ticas para predecir la propagaci¨®n del coronavirus

Desde tiempo inmemorial la humanidad ha vivido sometida a la amenaza de las epidemias. El terror causado por la aparici¨®n inesperada de enfermedades graves, que se extienden de forma incontrolada y misteriosa entre una poblaci¨®n indefensa ha sido descrito reiteradamente a lo largo de la historia, y ha dejado una huella imborrable en el imaginario colectivo. Actualmente, gracias al esfuerzo de profesionales de muy distintos campos es t¨¦cnicamente posible organizar una respuesta sanitaria eficaz en un breve espacio de tiempo. Una de las herramientas clave para lograr este objetivo es la modelizaci¨®n matem¨¢tica de los procesos contagiosos y en concreto, la formulaci¨®n de indicadores fiables para evaluar su evoluci¨®n temporal. Este tipo de indicadores son fundamentales para valorar el desarrollo de epidemias como la del coronavirus.

Un punto de partida para estudiar la propagaci¨®n de epidemias lo constituy¨® el llamado modelo SIR (iniciales de Susceptibles, Infectados y Recuperados) formulado en 1927 por el m¨¦dico militar Anderson Gray Mc Kendrick (1876-1943) y el qu¨ªmico William Ogilvy Kermack (1898- 1970). Este modelo estudia una poblaci¨®n en la que puede desarrollarse una epidemia, dividida en tres grupos: 1) los individuos susceptibles de contraer la enfermedad, cuya poblaci¨®n en el instante t representamos por S(t); 2) los infectados I(t) y 3) los recuperados R(t). En este ¨²ltimo t¨¦rmino se incluyen tanto los que superan la enfermedad como los que fallecen por su causa. Llamar recuperados a estos ¨²ltimos puede ser considerado un rasgo de humor discutible, pero resulta c¨®modo para escribir el modelo en la forma m¨¢s simple posible.

El objetivo del modelo es predecir la evoluci¨®n temporal de cada una de estas poblaciones, para lo que sus autores recurrieron a un sistema de tres ecuaciones diferenciales

El objetivo del modelo es predecir la evoluci¨®n temporal de cada una de estas poblaciones, para lo que sus autores recurrieron a un sistema de tres ecuaciones diferenciales. Cada una de ellas relaciona la cantidad existente en ese momento de miembros de cada tipo de poblaci¨®n, de modo que el n¨²mero de infectados aumenta por el contacto entre susceptibles e infectados, y disminuye al crecer el n¨²mero de recuperados. Los par¨¢metros del modelo var¨ªan seg¨²n las caracter¨ªsticas propias de la infecci¨®n: tasa de contagio, duraci¨®n del periodo de infecci¨®n, tama?o de la poblaci¨®n, etc.

El estudio de este sistema de ecuaciones permiti¨® identificar un par¨¢metro que ha resultado de gran ayuda para estimar la incidencia de una epidemia. Ese par¨¢metro, que suele representarse con la notaci¨®n R₀ , tiene un alto valor predictivo . Por debajo de un valor cr¨ªtico R₀=1, el brote se encuentra en retirada, mientras que si R₀>1 , la enfermedad se est¨¢ extendiendo. R₀ se define exclusivamente a partir de las propiedades del proceso, y admite una interpretaci¨®n muy intuitiva: es el n¨²mero medio de casos secundarios originados por el contagio de una sola persona al comienzo de la enfermedad. Este criterio es de aplicaci¨®n general, sea cual sea la naturaleza concreta del proceso considerado, y por ello los modelos de contagio de ¨²ltima generaci¨®n, muy distintos del formulado originalmente por Kermack y Mc Kendrick, siguen haciendo uso de indicadores similares a R_0, incluso manteniendo la misma nomenclatura y pueden utilizarse en situaciones como el reciente brote de coronavirus en China. Existen ya estimaciones del par¨¢metro R₀ para este brote que proporcionan un valor de R₀ superior a 2,24. Eso indicar¨ªa que en el momento del estudio la epidemia se estaba extendiendo.

Conviene tener en cuenta que los modelos matem¨¢ticos no son suficientes por si solos para valorar el origen y extensi¨®n de una epidemia

Conviene tener en cuenta que los modelos matem¨¢ticos no son suficientes por si solos para valorar el origen y extensi¨®n de una epidemia. Como observa reiteradamente la Organizaci¨®n Mundial de la Salud (OMS), la recogida fiable, y el tratamiento adecuado de datos es fundamental para extraer conclusiones correctas. Entre otras cosas, son esos datos los que permiten estimar los valores que aparecen en la definici¨®n del par¨¢metro R_{0 ,} lo que a su vez permite valorar la evoluci¨®n de un brote infeccioso.

Miguel A. Herrero es catedr¨¢tico de Matem¨¢tica Aplicada en la Universidad Complutense de Madrid y Acad¨¦mico Correspondiente de la Real Academia de Ciencias de Espa?a

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: "Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas".

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata Tim¨®n (ICMAT).

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