Desaf¨ªo matem¨¢tico de la Loter¨ªa de Navidad 2021: una suerte que se comparte

Un a?o m¨¢s EL PA?S propone a sus lectores un desaf¨ªo matem¨¢tico con ocasi¨®n del Sorteo de la Loter¨ªa de Navidad del 22 de diciembre, presentado, como en ediciones anteriores, por Adolfo Quir¨®s Graci¨¢n, profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Puedes enviar tu respuesta hasta las 00.00 del martes 21 de diciembre (la medianoche del lunes al martes, hora peninsular espa?ola) al correo problemamatematicas@gmail.com. Ese mismo d¨ªa 21 publicaremos la soluci¨®n.

El desaf¨ªo de este a?o tiene que ver con una de las caracter¨ªsticas que hace m¨¢s popular a este sorteo: su condici¨®n de ilusi¨®n colectiva, el hecho de que mucha gente juegue para compartir su suerte con otras personas, sean amigos, familiares o compa?eros de trabajo (aunque haya quien piense que no es tanto por compartir como por evitar que a esas personas les toque y a ti no). Mi madre, por ejemplo, compra un n¨²mero al que jugamos toda la familia. Aparte de ese, yo juego d¨¦cimos del mismo n¨²mero con mis compa?eros de departamento (s¨ª, aunque seamos matem¨¢ticos y sepamos de probabilidades, confieso que lo hacemos). Tambi¨¦n juego un mismo n¨²mero con gente an¨®nima, como todos los que compramos las participaciones que vende mi ahijada para financiar su equipo de waterpolo.

Vamos a decir que dos personas comparten suerte en Navidad si juegan un mismo n¨²mero (aunque no necesariamente compartan el mismo d¨¦cimo). O varios, no importa. En mi caso, debo compartir suerte de forma consciente con unas ochenta personas, y de forma inconsciente con varios cientos (de cada n¨²mero de la loter¨ªa de Navidad hay disponibles 1.720 d¨¦cimos), pero no s¨¦ la cantidad exacta. Y supongo que lo mismo le pasa a los varios millones de personas que juegan a la Loter¨ªa de Navidad: salvo alg¨²n millonario ego¨ªsta que se comprara las 172 series de un n¨²mero para ¨¦l solo, todos comparten suerte con alguien, pero nadie sabe exactamente con cu¨¢nta gente.

Nuestro desaf¨ªo de este a?o parece un trabalenguas pero en realidad es muy sencillo y consiste en demostrar que el n¨²mero de quienes comparten suerte en Navidad con una cantidad impar de personas es par. Recomendamos leer cuidadosamente la frase para no despistarse con lo que hay que probar, pero, para aclararlo, damos un ejemplo.

Supongamos que solo jugasen cinco personas: Ana, Andr¨¦s, Cristina, Eva y Pedro. Ana, Cristina y Eva comparten un n¨²mero entre las tres. Adem¨¢s, Ana comparte otro n¨²mero con Pedro. Andr¨¦s juega a la Loter¨ªa de Navidad, pero no comparte n¨²mero con nadie. Por tanto, Ana comparte suerte con 3 personas (Cristina, Eva y Pedro), Cristina con 2 (Ana y Eva), Eva tambi¨¦n con 2 (Ana y Cristina), Pedro con 1 (Ana) y Andr¨¦s no comparte suerte con nadie. Vemos entonces que, en este caso, el n¨²mero de quienes comparten suerte con una cantidad impar de personas, es 2 (Ana y Pedro), y 2 es par.

Lo que pedimos a los lectores es que demuestren que esto sucede independientemente de cu¨¢nta gente juegue a la loter¨ªa y de con cu¨¢nta gente comparta cada uno: el n¨²mero de quienes comparten suerte en Navidad con una cantidad impar de personas es, en cualquier caso, par.

No nos vamos a poner exquisitos con qu¨¦ es ¡°demostrar¡±. Aceptaremos como v¨¢lidas todas las respuestas que den un argumento coherente y convincente de por qu¨¦ esto es as¨ª. Tampoco pedimos que la soluci¨®n est¨¦ escrita con jerga matem¨¢tica, lo que nos interesa es que la explicaci¨®n sea clara y, obviamente, correcta. Esperamos vuestras soluciones.

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