Desaf¨ªo matem¨¢tico de la Loter¨ªa de Navidad: ?Se queda su d¨¦cimo o me lo cambia?

EL PA?S propone un a?o m¨¢s a sus lectores un desaf¨ªo matem¨¢tico con ocasi¨®n del Sorteo de la Loter¨ªa de Navidad del 22 de diciembre, presentado, como en ediciones anteriores, por Adolfo Quir¨®s Graci¨¢n, profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Puede enviar su respuesta hasta las 00.00 del mi¨¦rcoles 21 de diciembre (la medianoche del martes al mi¨¦rcoles, hora peninsular espa?ola) al correo problemamatematicas@gmail.com. Ese mismo d¨ªa 21 publicaremos la respuesta. (Agradecemos a los lectores que ya hab¨ªan contestado en los comentarios, pero los hemos cerrado para evitar dar pistas sobre la soluci¨®n).

Aunque quienes juegan a la loter¨ªa lo hacen con la ilusi¨®n de ganar el Gordo, en el fondo la mayor¨ªa nos damos con un canto en los dientes si nos toca el reintegro y no perdemos dinero. El desaf¨ªo de este a?o propone un juego que enreda con la probabilidad de que, jugando un solo d¨¦cimo, nos corresponda el reintegro (recordemos que eso sucede si nuestro n¨²mero acaba en la misma cifra que el Gordo). El juego es el siguiente.

Usted se compromete a no seguir el sorteo. Yo s¨ª que lo sigo. Despu¨¦s de que haya salido el Gordo, voy a su encuentro con 10 d¨¦cimos, uno con cada terminaci¨®n (del 0 al 9). Le pregunto en qu¨¦ cifra termina su n¨²mero y descarto el d¨¦cimo de los que he tra¨ªdo que tiene esa terminaci¨®n. A continuaci¨®n, elijo otros cinco de esos d¨¦cimos y le digo: ¡°La terminaci¨®n del Gordo no coincide con la de ninguno de estos cinco d¨¦cimos, as¨ª que los descartamos tambi¨¦n¡±. Me quedo, por tanto, con cuatro de los 10 d¨¦cimos que ten¨ªa inicialmente, y entonces le hago la siguiente propuesta: ¡°Le cambio su d¨¦cimo por uno de estos cuatro, el que usted quiera¡±.

Este es el juego, y el desaf¨ªo consiste en decidir si, solo desde el punto de vista de tener mayor probabilidad de ganar el reintegro, es ventajoso para usted aceptar mi oferta y cambiar de n¨²mero; si, por el contrario, le perjudica cambiar su n¨²mero por uno de los cuatro que yo le ofrezco; o si en realidad es indiferente, y sus probabilidades de obtener el reintegro son las mismas cambiando o no.

Lo que pedimos a los lectores es que nos digan cu¨¢l de las tres es la respuesta correcta y que expliquen el porqu¨¦. Idealmente, esto se har¨¢ indicando cu¨¢l es la probabilidad de que gane el reintegro si se queda con su n¨²mero original, y cu¨¢l si lo cambia por uno de los cuatro n¨²meros que le ofrezco.

Una observaci¨®n importante: ni usted ni yo hacemos trampas. Es decir, usted no sabe en qu¨¦ cifra ha terminado el Gordo y yo, que s¨ª lo s¨¦, retiro cinco d¨¦cimos que realmente no tienen reintegro (adem¨¢s del que tiene terminaci¨®n coincidente con la de su n¨²mero).

Aceptaremos como v¨¢lidas todas las respuestas que den un argumento coherente y convincente. No pedimos que la soluci¨®n est¨¦ escrita con jerga matem¨¢tica, lo que nos interesa es que la explicaci¨®n sea clara y, obviamente, correcta. Esperamos sus soluciones.

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