Desaf¨ªo matem¨¢tico de la Loter¨ªa de Navidad: ?cu¨¢nto suman todos los d¨ªgitos?

Un a?o m¨¢s EL PA?S propone a sus lectores un desaf¨ªo matem¨¢tico con ocasi¨®n del Sorteo de la Loter¨ªa de Navidad del 22 de diciembre, presentado, como en ediciones anteriores, por Adolfo Quir¨®s Graci¨¢n, profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Puedes enviar tu respuesta hasta las 00.00 del jueves 21 de diciembre (la medianoche del mi¨¦rcoles al jueves, hora peninsular espa?ola) al correo problemamatematicas@gmail.com. Ese mismo d¨ªa 21 publicaremos la soluci¨®n.

En esta ocasi¨®n el desaf¨ªo tiene tres preguntas, y las tres consisten en encontrar la suma de los d¨ªgitos de n¨²meros que participan en el Sorteo de la Loter¨ªa de Navidad. En 2023 estos n¨²meros son todos los que se pueden escribir con cinco cifras, es decir, los comprendidos entre el 00000 y el 99999. La primera pregunta es: ?cu¨¢nto suman todos los d¨ªgitos de todos estos n¨²meros?

Obs¨¦rvese que pedimos la suma de los d¨ªgitos, no la suma de los n¨²meros (lo segundo dicen que lo resolvi¨® Gauss cuando era un ni?o). Es decir, si jug¨¢semos solo con los n¨²meros 11, 12 y 13, la respuesta a la pregunta ser¨ªa 9, no 36.

Supongamos ahora que estamos en 1968, cuando en el Sorteo de la Loter¨ªa de Navidad entraron en el bombo grande solo sesenta mil n¨²meros, los comprendidos entre el 00000 y el 59999. La segunda pregunta es: ?cu¨¢nto sumaban todos los d¨ªgitos de todos los n¨²meros participantes en el sorteo de 1968?

Para la tercera pregunta volvemos a 2023, pero nos fijamos ¨²nicamente en los n¨²meros que tienen las cinco cifras impares. ?Cu¨¢ntos n¨²meros hay (entre el 00000 y el 99999) que cumplen esa condici¨®n y cu¨¢nto suman todos los d¨ªgitos de todos ellos?

Es muy f¨¢cil encontrar la respuesta a nuestras tres preguntas usando un ordenador. Pero no es muy divertido y no podr¨ªamos usar un ordenador si los n¨²meros de loter¨ªa tuviesen 10^100 cifras, como en el desaf¨ªo navide?o de 2019. As¨ª que lo que pedimos para considerar una respuesta como v¨¢lida es que d¨¦ contestaciones a las tres preguntas y que explique c¨®mo se ha llegado a ellas con argumentos coherentes y convincentes que utilicen ¨²nicamente l¨¢piz y papel. No es necesario que las soluciones est¨¦n escritas con jerga matem¨¢tica, lo que nos interesa es que la explicaci¨®n sea clara y, obviamente, correcta. Esperamos vuestras soluciones y animamos especialmente a los j¨®venes lectores a intentarlo.