Soluci¨®n al desaf¨ªo matem¨¢tico de la Loter¨ªa de Navidad: no es lo de Gauss, pero casi

Ya hay soluci¨®n para el desaf¨ªo matem¨¢tico con ocasi¨®n del Sorteo de la Loter¨ªa de Navidad de este viernes que, un a?o m¨¢s, ha propuesto Adolfo Quir¨®s Graci¨¢n, profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola.

Recordemos brevemente que el desaf¨ªo ped¨ªa contestar, explicando el razonamiento, tres preguntas: ?cu¨¢nto suman todos los d¨ªgitos de todos los n¨²meros (los comprendidos entre el 00000 y el 99999) que entran en el bombo del Sorteo de la Loter¨ªa de Navidad de 2023?; ?cu¨¢nto sumaban todos los d¨ªgitos de todos los n¨²meros (del 00000 y el 59999) que participaron en el Sorteo de la Loter¨ªa de Navidad de 1968?; volviendo a 2023, ?cu¨¢ntos n¨²meros (entre el 00000 y el 99999) hay que tengan las cinco cifras impares y cu¨¢nto suman todos los d¨ªgitos de todos ellos?

Las respuestas son: en 2023 esta suma de d¨ªgitos es 2.250.000; en 1968 era 1.230.000; en 2023 hay 3.125 n¨²meros de la Loter¨ªa de Navidad con las cinco cifras impares y la suma de los d¨ªgitos de todos ellos es 78.125.

El razonamiento que hemos seguido para obtener las tres sumas es esencialmente el mismo, adaptado a las particularidades de cada caso. Empecemos por la primera pregunta, que es la m¨¢s ¡°sim¨¦trica¡±.

Tenemos 100.000 n¨²meros de 5 cifras, por tanto 500.000 d¨ªgitos. Una d¨¦cima parte de ellos, o sea, 50.000, son ceros, otros 50.000 son unos, 50.000 m¨¢s son doses, etc. Por tanto la suma buscada es

50.000 x 0 + 50.000 x 1 + 50.000 x 2 + 50.000 x 3 + 50.000 x 4 + 50.000 x 5 + 50.000 x 6 + 50.000 x 7 + 50.000 x 8 + 50.000 x 9 = 50.000 x (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 50.000 x 45 = 2.250.000.

En 1968 podemos argumentar de manera similar, pero hay que tener en cuenta que la primera cifra solo puede ser 0, 1, 2, 3, 4 o 5. Vamos a tratar esta cifra por separado. Mirando las otras cuatro cifras en cada uno de los sesenta mil n¨²meros, hay 4 x 60.000 = 240.000 d¨ªgitos. Como antes, una d¨¦cima parte de ellos, o sea, 24.000, son ceros, otros 24.000 son unos, etc. Por el argumento anterior, su suma es

24.000 x (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 24.000 x 45 = 1.080.000.

Miramos ahora las primeras cifras de los sesenta mil n¨²meros, para la que hay seis opciones: 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Cada uno de estos seis n¨²meros ser¨¢ la cifra inicial de una sexta parte de los n¨²meros de la Loter¨ªa de Navidad de 1968, es decir, de 10.000 n¨²meros. Por tanto la suma de los primeros d¨ªgitos ser¨¢

10.000 x 0 +10.000 x 1 + 10.000 x 2 + 10.000 x 3 + 10.000 x 4 + 10.000 x 5 = 10.000 x (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 10.000 x 15 = 150.000.

Sumando esto a la cantidad obtenida para las otras cuatro cifras, la respuesta a la segunda pregunta es

1.080.000 + 150.000 = 1.230.000

Volvemos a 2023 y consideramos los n¨²meros que tienen las cinco cifras impares. Hay cinco posibilidades (1, 3, 5, 7, 9) para cada una de las cifras, por tanto tenemos

5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 5^5 = 3125

n¨²meros que cumplen estas condiciones. Estos n¨²meros tienen en total 5 x 3.125 = 15.625 d¨ªgitos, de los que una quinta parte, o sea, 3.125, son unos, otros 3.125 son treses, 3.125 m¨¢s son cincos, etc. Resulta entonces, repitiendo el argumento, que la suma de todos los d¨ªgitos de todos los n¨²meros que entran en el bombo del Sorteo de la Loter¨ªa de Navidad de 2023 y tienen todas sus cifras impares es

3.125 x (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 3.125 x 25 = 78.125.

Se han recibido 207 soluciones en el plazo marcado, un 67% de ellas totalmente correctas. Las dem¨¢s daban con frecuencia bien la respuesta a la primera pregunta, pero parece que las otras dos han resultado algo m¨¢s dif¨ªciles (quiz¨¢s un poco m¨¢s la tercera). La mayor¨ªa utilizan un argumento similar al nuestro, pero tambi¨¦n eran frecuentes otras dos ideas.

La primera, una versi¨®n de nuestra soluci¨®n pero con cierto sabor probabil¨ªstico, es calcular la media de los d¨ªgitos posibles y luego multiplicar por el n¨²mero de d¨ªgitos que tenemos. As¨ª lo han hecho Ignasi Ch o Roberto N, entre otros. Para la primera pregunta la media de los d¨ªgitos disponibles es

(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)/10=4,5.

Como tenemos 500.000 d¨ªgitos su suma ser¨¢

4,5 x 500.000=2.250.000.

Para la tercera pregunta la media de los d¨ªgitos (ahora solo los impares) es

(1+3+5+7+9)/5=5.

Multiplicando por los 5 x 3.125 d¨ªgitos que tenemos en este caso, la suma da

5 x 5 x 3.125=78.125.

Para contestar a la segunda pregunta con este m¨¦todo hay que tener un poco de cuidado, ya que los d¨ªgitos del 0 al 5 pueden aparecer en las cinco posiciones, pero 6, 7, 8 y 9 no pueden ser las primeras cifras. El ¡°d¨ªgito medio¡± para las cuatro ¨²ltimas cifras es, como en la primera pregunta, 4,5, pero para la primera cifra es

(0+1+2+3+4+5)/6=2,5.

Por tanto, para calcular el ¡°d¨ªgito medio de todos los posibles d¨ªgitos¡± hay que ponderar estos valores. Se obtiene

(2,5 + (4 x 4,5))/5 = 4,1.

Ahora ya podemos multiplicar por las 300.000 cifras disponibles para llegar a la suma de todos los d¨ªgitos:

4,1 x 300.000=1.230.000.

El otro procedimiento que han seguido bastantes lectores, por ejemplo, Mari Carmen M, Jos¨¦ Ram¨®n EL o Emilio y Claudia A (padre e hija, que han respondido conjuntamente), tiene sabor a Gauss. Consiste en emparejar cada n¨²mero con su ¡°complementario¡±, de manera que la suma de los n¨²meros de cada una de estas parejas sea siempre la misma, y luego multiplicar por el n¨²mero de parejas.

Para la primera pregunta emparejamos 00000-99999, 00001-99998, 00002-99997, etc, de manera que la suma de los d¨ªgitos de una pareja es siempre 45. Como tenemos 50.000 parejas, la suma de los d¨ªgitos de todos los n¨²meros disponibles es

45 x 50.000=2.250.000.

En la segunda pregunta los emparejamientos son 00000-59999, 00001-59998, 00002-59997, etc. La suma de los d¨ªgitos de una pareja es ahora 41 y tenemos 30.000 parejas, con lo que la suma de los d¨ªgitos de todos los n¨²meros disponibles es

41 x 30.000=1.230.000.

Por ¨²ltimo, para la tercera pregunta emparejamos 11111-99999, 11113-99997, 11115-99995, etc., y la suma de los d¨ªgitos de una pareja resulta ser 50. Al ser el n¨²mero de parejas 3125/2=1.562,5, la suma de los d¨ªgitos de todos los n¨²meros disponibles resulta ser50 x 1.562,5=78.125

Si alguien no se siente c¨®modo con ¡°medias parejas¡± puede considerar el n¨²mero 55.555 por separado, sin emparejarlo con nadie (nosotros lo hemos emparejado consigo mismo, y de ah¨ª la media pareja), hacer la cuenta para las 1.562 parejas restantes y luego sumar el 25 que vendr¨ªa de la suma de los d¨ªgitos de 55.555.

En esta ocasi¨®n la participaci¨®n en el desaf¨ªo ha resultado especialmente diversa. Aparte de las ya habituales respuestas desde el extranjero (Alemania, Argentina, B¨¦lgica, Reino Unido,¡­, incluso una enviada desde un tren que viajaba de Marsella a Ventimiglia), hemos recibido una, totalmente correcta y muy bien explicada, de una persona ciega, la ya mencionada Mari Carmen M, quien nos ha agradecido que el desaf¨ªo fuese accesible (utiliza un lector de pantalla con voz). No siempre podemos hacerlo porque a veces los desaf¨ªos requieren im¨¢genes, pero agradecemos a nuestra vez a Mari Carmen que nos ayude a ser conscientes de las dificultades a las que se enfrentan en su d¨ªa a d¨ªa muchas personas, y a intentar reducirlas.

Otra fuente de diversidad ha sido el amplio rango de edades de quienes han participado. Muchos docentes han atendido a nuestro llamamiento a los j¨®venes lectores y han animado a sus estudiantes a intentar resolver el desaf¨ªo. Un buen n¨²mero han enviado soluciones y hemos decidido que, en esta ocasi¨®n, ser¨¢n tres de ellos quienes reciban un libro por cortes¨ªa de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola (RSME). Enviaremos a Claudia A (?no a su padre!), Irene P y Antonio de GG sendos ejemplares del libro La estructura de los n¨²meros. N¨²meros primos para autodidactas adolescentes, de Gregorio Morales Ord¨®?ez, que forma parte de la Biblioteca Est¨ªmulos Matem¨¢ticos que la sociedad publica conjuntamente con Editorial SM.

Conf¨ªo en que hay¨¢is disfrutado resolviendo este desaf¨ªo, que tiene su origen en una pregunta que hace Adri¨¢n Paenza en su libro ?La puerta equivocada?. Algunos de mis compa?eros de Departamento me ayudaron a enriquecerla durante las charlas de caf¨¦. A ellos y a Paenza les agradezco la inspiraci¨®n, y a los lectores los mensajes enviados junto a las soluciones, que son un incentivo para seguir proponiendo desaf¨ªos matem¨¢ticos. En nombre de EL PA?S, de la RSME y en el m¨ªo propio, les deseo feliz Navidad y un nuevo a?o en el que nuestro mundo sea un poco m¨¢s pac¨ªfico.