Soluci¨®n espa?ola para un problema de John Nash

Dos j¨®venes matem¨¢ticos espa?oles han explorado una singularidad, un interesante concepto matem¨¢tico que puede visualizarse, por ejemplo, como el punto en que se unen dos cilindros resultantes de estrujar completamente un cilindro, y han resuelto una conjetura planteada en los a?os sesenta por John Nash, el matem¨¢tico que recibi¨® el premio Nobel de Econom¨ªa en 1994 y que alcanz¨® la popularidad con la pel¨ªcula Una mente maravillosa, que narra su vida y su lucha con la esquizofrenia paranoide que padece. Javier Fern¨¢ndez de Bobabilla, de 38 a?os, y Mar¨ªa Pe Pereira, de 30, han logrado demostrar que la intuici¨®n del genial matem¨¢tico estadounidense es correcta, en dos dimensiones. Es el resultado de tres a?os de trabajo (que puede considerarse poco tiempo para un reto de este tipo) de estos dos investigadores, que acaban de presentar su trabajo a sus colegas haci¨¦ndolo p¨²blico en Internet y facilitando su an¨¢lisis minucioso por parte de especialistas en el tema antes de publicarlo en una revista cient¨ªfica. Su enfoque novedoso y sus resultados "est¨¢ siendo toda una sorpresa para los especialistas en el problema de Nash", afirman los responsables del programa Ingenio I-Math.

"Lo importante en este caso ha sido dar con la idea", explica Fern¨¢ndez de Bobadilla. "Hemos resuelto el problema de Nash con t¨¦cnicas sorprendentemente sencillas, casi elementales, aunque por supuesto nos basamos en desarrollo previos de otros investigadores. Se trata de un trabajo de matem¨¢ticas puras. "Ahora entendemos algo importante que antes no entend¨ªamos y eso acabar¨¢ teniendo aplicaciones", dice Fern¨¢ndez de Bobadilla, del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en Madrid, que tiene una beca del Consejo Europeo de Investigaci¨®n.

"Un matem¨¢tico lanza una conjetura cuando intuye que algo es cierto pero no lo pude demostrar", contin¨²a Fern¨¢ndez de Bobadilla. "El esfuerzo por demostrar las conjeturas hace avanzar las matem¨¢ticas, y las matem¨¢ticas no son sino la forma m¨¢s rigurosa de pensamiento". La conjetura de Nash, que, a sus 82 a?os, sigue trabajando en la Universidad de Princeton (EEUU), se refiere a las singularidades. "Los fen¨®menos en que aparecen cambios instant¨¢neos de comportamiento tienen singularidades: la formaci¨®n de tornados en la atm¨®sfera, cuando un metal se rompe al ser sometido a temperaturas muy altas o cuando el espacio-tiempo se curva tanto que se forma un agujero negro", explica I-Math. Todas las singularidades se pueden imaginar a partir de un objeto liso en que una parte se comprime dando lugar a la singularidad, y en el ejemplo del cilindro de papel retorcido y estrujado en el centro, una de las circunferencias que rodea a dicho cilindro se estar¨ªa comprimiendo en el v¨¦rtice de los dos conos. "Este conjunto que se comprime o colapsa es lo que los matem¨¢ticos llaman lugar excepcional.

?Ser¨ªa posible, por ejemplo, hacer correr la pel¨ªcula marcha atr¨¢s y deducir cu¨¢l es e lugar excepcional que ha sido comprimido para generar la singularidad? Los expertos en singularidades han aprendido, por ejemplo, a extraer informaci¨®n a partir de las posibles trayectorias de las part¨ªculas que atraviesan una singularidad los posibles recorridos de una canica microsc¨®pia rodando por la pared interna del cilindro retorcido-. Estas trayectorias se agrupan en familias seg¨²n su comportamiento y lo que propuso Nash -y no demostr¨®- es que existe una determinada relaci¨®n entre la forma del lugar excepcional y las familias de trayectorias que atraviesan la singularidad, y que en objetos de dos dimensiones (superficies) hay una correspondencia perfecta entre la forma del lugar excepcional y las familias de trayectorias.

Esa relaci¨®n no se da en singularidades de objetos de cuatro o m¨¢s dimensiones, seg¨²n demostraron en 2003 Janos Kollar (Universidad de Princeton) y Shihoko Ishii (Instituto Tecnol¨®gico de Tokio. Ahora Fern¨¢ndez de bobadilla y Pereira han demostrado que la conjetura s¨ª es cierta para dos dimensiones y, por tanto, Nash ten¨ªa raz¨®n a mediados de los a?os sesenta.

"Desde el punto de vista matem¨¢tico es un problema muy bonito, con un enunciado sencillo y que, adem¨¢s, ha podido ser entendido con t¨¦cnicas relativamente elementales, lo que es una suerte para un matem¨¢tico", comenta Pereira (Instituto Jussieu, Paris). Estos dos matem¨¢ticos han aplicado, para la demostraci¨®n de la conjetura, herramientas de la topolog¨ªa.