C¨®mo ganar siempre a los palillos

Ya hay ganador (en este caso ganadores) del quinto desaf¨ªo que organiza EL PA¨ªS en el primer centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Esta semana, la ganadora de una biblioteca matem¨¢tica como la que se ofrece el domingo con EL PA?S ha sido Mar¨ªa Lasanta, que ha acertado correctamente los dos problemas. Luis A. Bernal, de Etxebarri (Vizcaya), ha ganado por su parte un lote de libros por acertar correctamente el primer problema -tambi¨¦n respondi¨® correctamente al segundo, todo hay que decirlo. En esta ocasi¨®n se recibieron 1.137 respuestas dentro del plazo previsto. El 97% contest¨® correctamente a la primera cuesti¨®n y el 90% a la segunda. Este domingo, el libro que se entrega con EL PA?S, a un precio de 9,95 euros, es Los secretos del n¨²mero Pi, de Joaqu¨ªn Navarro.

Recordemos el juego consist¨ªa en buscar sendas estrategias ganadoras para dos juegos que arrancaban con 19 palillos sobre la mesa formando la palabra PAIS. En el primer juego, los contricantes deben retira sucesivamente uno, dos o tres palillos y gana quien vac¨ªa la mesa. En el segundo se pueden retirar tantos como se quieran pero siempre de la misma letra cada vez y gana tambi¨¦n el que no deja ninguno a su rival.

Vamos con las soluciones. Estos dos juegos forman parte de una familia de juegos del tipo Nim en los que hay una serie de montones de objetos iguales (palillos, fichas) de lo que los que en cada jugada se pueden retirar algunos. De todos ellos existe un m¨¦todo para encontrar la estrategia ganadora que consiste escribir el n¨²mero de objetos de cada mont¨®n en base 2 y sumar de forma independiente cada uno de los ¨®rdenes de potencias de dos que tenemos. Pero en nuestros dos juegos la estrategia ganadora puede encontrarse usando algunas de las estrategias globales de pensamiento, como veremos a continuaci¨®n.

Tal y como cuenta en el v¨ªdeo de la derecha Fernando Corbal¨¢n, catedr¨¢tico de secundaria, y subdirector de DivulgaMAT, la estrategia ganadora corresponde en ambos casos al jugador que abre el juego.

Juego 1. Se puede encontrar la soluci¨®n empezando por el final. Si un jugador consigue dejar solo cuatro palillos al otro, habr¨¢ ganado: su rival tendr¨¢ que quitar uno, dos o tres, y le dejar¨¢ siempre la opci¨®n de dejar la mesa en blanco. Para asegurar esa situaci¨®n en la que se dejan cuatro palillos al adversario habr¨¢ que dejarle ocho en la jugada anterior, y 12 en la anterior y 16... esto eso, siempre un n¨²mero de palillos que sea m¨²ltiplo de cuatro. Como en el inicio hay 19 palillos, un n¨²mero que no es m¨²ltiplo de cuatro, la estrategia ganadora consiste en quitar tres -y por tanto dejar 16- y a partir de ah¨ª quitar el complementario a cuatro de los que va quitando su contricante (si retira uno, tres; si retira dos, dos; y si retira tres, uno), con lo que el n¨²mero de palillos sobre la mesa pasar¨¢ a 12, 8, 4... y ganar¨¢.

Juego 2. La estrategia ganadora tambi¨¦n la tiene el jugador que empieza pero la soluci¨®n es otra: pasar a nuestro contrincante una situaci¨®n sim¨¦trica de palillos y ante cada jugada suya, hacer tambi¨¦n la sim¨¦trica. As¨ª nos aseguramos de que si ¨¦l tiene palillos para sacar, nosotros tambi¨¦n tendremos y seremos nosotros quienes dejemos la mesa vac¨ªa. En el caso propuesto el primer jugador puede llegar a esa situaci¨®n quitando un palillo de la A (o de la P o de la S), con lo que quedar¨¢n cuatro figuras formadas por 5 4 4 5 palillos sobre la mesa. A partir de ese momento, el jugador solo tiene que hacer lo que haga su rival.

En algunos correos se nos ha reprochado que no incluy¨¦ramos la tilde en la palabra PA?S. Como curiosidad diremos que si la hubi¨¦ramos puesto, sumando un palillo m¨¢s a la I, la estrategia ganadora en ambos casos habr¨ªa correspondido al segundo jugador. ?Podr¨ªa el lectorexplicar por qu¨¦?

Hemos recibido algunos correos preguntando si se puede concursar desde el extranjero y optar a un premio. La respuesta es s¨ª. Asi que animamos a seguir participando por ejemplo a Mois¨¦s Bol¨ªvar, que nos escribe desde Chile; a C¨¦sar Conrado Fajardo, que lo ha hecho desde Arauca (Colombia); a Agust¨ªn Peinado (Argentina); a Luis Carbonell, cubano de Sancti Spiritus que nos escribe desde Miami; a Ancus R?hr, que ha concursado desde Z¨²rich o a Irina y Leon Bykov, de Cleveland (Ohio, EE UU), por solo citar a algunos participantes que nos han escrito desde otros pa¨ªses.

Tambi¨¦n animamos a colegios e institutos a participar en esta iniciativa, tal y como lo ha hecho, por ejemplo los alumnos de 2? ESO del colegio Oak House School de Barcelona -con respuesta correcta, por cierto.

El pr¨®ximo jueves publicaremos el sexto desaf¨ªo.

C¨®mo ganar siempre a los palillos

Un PA?S de palillos