C¨®mo ahorrar en tuber¨ªas

Ya hay soluci¨®n para el vig¨¦simo primer desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola (ver el v¨ªdeo conmemorativo).

Mari Paz Calvo, Catedr¨¢tica de la Universidad de Valladolid propuso el problema (ver v¨ªdeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (v¨ªdeo de la derecha). Recordemos el reto: En un jard¨ªn se quiere montar un sistema de riego autom¨¢tico. Para ello se instalar¨¢ una boca de riego de la que saldr¨¢n tantas tuber¨ªas como ¨¢rboles queramos regar, de modo que cada tuber¨ªa llegue a uno de dichos ¨¢rboles y que la suma de las longitudes de dichas tuber¨ªas sea m¨ªnima. Considerando un jard¨ªn con cuatro ¨¢rboles hay que determinar cu¨¢l es el punto (o los puntos, si hubiera m¨¢s de uno) en los que hay que situar la boca de riego para que la suma de las longitudes de las cuatro tuber¨ªas sea m¨ªnima.

Para este desaf¨ªo, el segundo del mes de agosto, se han recibido 401 respuestas, de las que un 49% han sido correctas. El ganador de una biblioteca matem¨¢tica como la que entrega cada semana EL PA?S ha sido en esta ocasi¨®n Miguel Iglesias Santamar¨ªa, de Santander. Este domingo, en el quiosco, por 9,95 euros con el peri¨®dico, Ideas fugaces, teoremos eternos, de Joaqu¨ªn Navarro.

El mayor porcentaje de respuestas no v¨¢lidas corresponde a aqu¨¦llas que aun resolviendo correctamente algunos de los casos, no han considerado todas las disposiciones posibles de los cuatro ¨¢rboles. La disposici¨®n m¨¢s olvidada ha sido aqu¨¦lla en la que tres de los cuatro ¨¢rboles forman un tri¨¢ngulo y el cuarto ¨¢rbol est¨¢ situado en el interior del mismo, lo que en lenguaje matem¨¢tico expresar¨ªamos diciendo que los cuatro ¨¢rboles forman un cuadril¨¢tero c¨®ncavo.

Cabe destacar un error que se ha repetido con cierta frecuencia: "La boca de riego debe situarse en el punto cuyas coordenadas son el promedio de las coordenadas de los cuatro puntos dados" (la media). Hay que se?alar que ¨¦sta ser¨ªa la respuesta correcta si hubi¨¦semos querido que la suma de los cuadrados de las longitudes de las cuatro tuber¨ªas fuese m¨ªnima. La soluci¨®n correcta al desaf¨ªo planteado, en el que se quiere que la suma de las longitudes de las cuatro tuber¨ªas sea m¨ªnima, tiene que ver con lo que en Matem¨¢ticas se conoce como mediana.

Aunque en la mayor¨ªa de las respuestas no se incluye justificaci¨®n (puesto que no se ped¨ªa) s¨ª cabe mencionar que han sido numerosos los que han dado explicaciones satisfactorias, al menos para algunos de los casos. Mencionamos las respuestas de Pablo Moreno, que adem¨¢s de ser la primera en llegar justifica tres de los casos utilizando nuestros mismos argumentos y la respuesta de Jes¨²s Garc¨ªa Gual, cuya justificaci¨®n est¨¢ basada en las propiedades m¨¦tricas de los focos de una elipse.

La soluci¨®n propuesta por la Profesora Calvo es la siguiente:

Como ya se indic¨® en el planteamiento, la soluci¨®n del desaf¨ªo de esta semana depende de la disposici¨®n que tengan los ¨¢rboles en el jard¨ªn.

- Si los 4 ¨¢rboles est¨¢n alineados, la boca de riego se puede situar en cualquiera de los puntos de la recta en la que est¨¢n los 4 ¨¢rboles y que dejan 2 ¨¢rboles a un lado de la recta y otros 2 al otro lado. Dicho de otro modo, en el segmento de recta que une los dos ¨¢rboles interiores, incluidas las posiciones en las que est¨¢n dichos ¨¢rboles intermedios. (La soluci¨®n a este caso es consecuencia inmediata del ejemplo de 2 ¨¢rboles incluido en la presentaci¨®n del problema.)

- Si los 4 ¨¢rboles forman un cuadril¨¢tero convexo, la boca de riego debe situarse en el punto de corte de las dos diagonales del cuadril¨¢tero. (Cualquier punto de cada diagonal hace m¨ªnima la suma de las distancias a los 2 ¨¢rboles situados en los extremos de la misma y, por tanto, el punto de corte de ambas minimiza la suma de las distancias a los 4 ¨¢rboles.)

- Si uno de los ¨¢rboles es interior al tri¨¢ngulo que forman los otros tres, la boca de riego debe situarse donde est¨¢ dicho ¨¢rbol interior. (Se descarta en primer lugar que la boca de riego pueda situarse en un punto que est¨¦ fuera del tri¨¢ngulo, porque instal¨¢ndola en el punto reflejado respecto de alguno de los lados del tri¨¢ngulo la suma de las longitudes de las 4 tuber¨ªas ser¨ªa menor. A continuaci¨®n se considera el caso en que la boca de riego se sit¨²a en un punto interior al tri¨¢ngulo, distinto del punto donde est¨¢ el ¨¢rbol interior. En este caso, el tri¨¢ngulo inicial queda dividido en tres tri¨¢ngulos cuyos v¨¦rtices son dos de los ¨¢rboles y el punto donde estar¨ªa la boca de riego. En alguno de esos tri¨¢ngulos estar¨¢ el ¨¢rbol interior y, comparando las longitudes de los lados de dicho tri¨¢ngulo y las de los lados del tri¨¢ngulo de v¨¦rtices la boca de riego, el ¨¢rbol interior y el ¨¢rbol que no est¨¢ en el tri¨¢ngulo que contiene al ¨¢rbol interior, se concluye f¨¢cilmente con la respuesta.)

- Por ¨²ltimo, si tres ¨¢rboles est¨¢n alineados y el cuarto no, la boca de riego debe situarse donde est¨¢ el ¨¢rbol de los alineados que est¨¢ entre medias de los otros dos. (Se puede ver como un caso degenerado de los dos anteriores, en el que el ¨¢rbol "interior al tri¨¢ngulo" / "exterior al tri¨¢ngulo" est¨¢ exactamente en uno de los lados del tri¨¢ngulo.)

El jueves plantearemos un nuevo desaf¨ªo.

Un sistema de riego eficiente

La mejor estrategia de riego