El dodec¨¢gono desparejado

Ya hay soluci¨®n para el vig¨¦simo tercer desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola (ver el v¨ªdeo conmemorativo).

Irene Ferrando, profesora de ense?anza secundaria, y Alejandro Miralles, investigador de la Universitat Polit¨¨cnica de Val¨¨ncia, ambos profesores del proyecto Estalmat Comunitat Valenciana, propusieron el problema (ver v¨ªdeo de la izquierda) y lo resuelven ahora (v¨ªdeo de la derecha). Recordemos el enunciado. El desaf¨ªo consist¨ªa en decir si es posible emparejar los v¨¦rtices de un pol¨ªgono regular de 12 lados (un dodec¨¢gono regular), sin repetir ninguno, para obtener en este caso 6 segmentos de longitud distinta, y justificar la respuesta.

Para este cuarto desaf¨ªo de agosto se han recibido 360 respuestas, de las que un 85% eran correctas. Efectuado el sorteo entre los acertantes, el ganador de una biblioteca matem¨¢tica como la que entrega cada semana EL PA?S ha sido en esta ocasi¨®n Miquel Camprodon i Masnou, de Vic (Barcelona). Este domingo, en el quiosco, por 9,95 euros con el peri¨®dico, Ideas fugaces, teoremos eternos, de Joaqu¨ªn Navarro.

La soluci¨®n propuesta por Irene Ferrando y Alejandro Miralles es la siguiente. No es posible obtener los seis segmentos pedidos. Estos segmentos tendr¨¢n longitud 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Es obvio que los segmentos de longitud 1, 3 y 5 unir¨¢n siempre un v¨¦rtice par y otro impar, as¨ª que la suma de estos dos v¨¦rtices ser¨¢ un n¨²mero impar. Sin embargo, los segmentos de longitud 2, 4 y 6 unir¨¢n dos v¨¦rtices de la misma paridad: o bien los dos ser¨¢n pares o bien los dos ser¨¢n impares. Por tanto, la suma de los dos v¨¦rtices de uno de estos segmentos ser¨¢ un n¨²mero par. Por tanto, la suma de los 12 v¨¦rtices ser¨¢ la suma de 3 n¨²meros pares y 3 n¨²meros impares, que resulta un n¨²mero impar. Sin embargo, como no se puede repetir v¨¦rtices, la suma de estos doce v¨¦rtices es la suma de los n¨²meros del 1 al 12, que es 78, un n¨²mero par, lo cual contradice lo anterior y prueba que no es posible obtener tales segmentos.

Todas las soluciones correctas que nos han llegado han utilizado un razonamiento de paridad, pero lo han presentado de maneras diversas. Por ejemplo, Avelino Arduengo lo hace situando pelotas de golf en los lugares impares.

Cabe destacar las soluciones de Antonio Bueno y Manuel Roig, que parten de un pol¨ªgono cualquiera de n lados, con n un n¨²mero par, y una configuraci¨®n inicial de n/2 segmentos de longitud 1. Estudian la suma de las longitudes de tales segmentos, que es n/2, y observan que la paridad de esta suma es un invariante al cambiar los extremos de los segmentos para conseguir otras longitudes. El problema pedido ser¨ªa equivalente a llegar, a partir de estos cambios, a la suma de las longitudes de los seis segmentos distintos, es decir, 1+2+...+6=21, que deber¨ªa tener la misma paridad que n/2 para n=12, es decir, 6, lo cu¨¢l es obviamente falso.

Francisco Javier Masip envi¨® un cuento muy emotivo sobre un padre que le regalaba un reloj m¨¢gico a su hija que pod¨ªa resolver todos los problemas. En el cuento se daba la soluci¨®n a este problema.

Ricard Vila y Guillermo M¨¦nguez optaron por enviar un programa inform¨¢tico que estudia el caso de un pol¨ªgono cualquiera de n lados, con n par, que prueba si se puede resolver el problema e incluso nos da una configuraci¨®n de parejas en caso afirmativo.

Wolfgang Hintze, David Mar¨ªn y Sergio Barba-Romero demuestran una condici¨®n necesaria para que el problema tenga soluci¨®n en el caso general de un pol¨ªgono de n lados: n=8k o n=8k+2.

El jueves plantearemos un nuevo desaf¨ªo.

12 v¨¦rtices y ?seis distancias distintas?

Un dodec¨¢gono desparejado