Un cuadrado alfam¨¢gico

Ya hay soluci¨®n para el vig¨¦simo segundo desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola (ver el v¨ªdeo conmemorativo).

Jos¨¦ Luis Carlavilla, Profesor de la Universidad de Castilla La Mancha, propuso el problema (ver v¨ªdeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (v¨ªdeo de la derecha). Se trataba de construir lo que llam¨¢bamos un cuadrado m¨¢gico especial en castellano (en nombre habitual, que cambiamos para no dar demasiadas pistas, es cuadrado alfam¨¢gico), esto es, un cuadrado m¨¢gico en el que el n¨²mero de letras del nombre de los n¨²meros que contiene forman a su vez otro cuadrado m¨¢gico.

Para este tercer desaf¨ªo de agosto se han recibido 344 respuestas, y el 70% de las mismas han sido correctas. Las respuestas incorrectas se han debido principalmente a cuadrados con n¨²meros repetidos que no hemos considerado v¨¢lidas. Quiz¨¢s en el enunciado deber¨ªamos haber aclarado que los cuadrados han de ser con n¨²meros distintos. pues, de otro modo, hay soluciones triviales: tomar los 9 n¨²meros iguales. No lo hicimos y pedimos disculpas a todos los participantes de este desaf¨ªo. El ganador de una biblioteca matem¨¢tica como la que entrega cada semana EL PA?S ha sido en esta ocasi¨®n Jos¨¦ Gayo Milares, de Madrid. Este domingo, en el quiosco, por 9,95 euros con el peri¨®dico, Ideas fugaces, teoremos eternos, de Joaqu¨ªn Navarro.

De las respuestas correctas, aproximadamente la mitad usaban un razonamiento similar a la soluci¨®n propuesta en el v¨ªdeo.

Esta es la soluci¨®n propuesta por el Profesor Carlavilla:

Podr¨ªamos construir un cuadrado alfam¨¢gico de la siguiente manera:

Elegimos tres n¨²meros x, y, z que cumplan la condici¨®n de que la suma de sus letras sean n¨²meros consecutivos: n, n+1, n+2.

Como el n¨²mero 1000 tiene 3 letras, los n¨²meros: 1000+x, 1000+y, 1000+z tendr¨¢n, respectivamente: n+3, n+4, n+5 letras en sus nombres.

De la misma forma, como 2000 tiene 6 letras, los n¨²meros: 2000+x, 2000+y, 2000+z, tendr¨¢n, respectivamente: n+6, n+7, n+8, letras en sus nombres.

Si elijo los n¨²meros x, y, z de forma que est¨¦n en progresi¨®n aritm¨¦tica siempre podr¨¦ construir un cuadrado alfam¨¢gico:

x+r, 2000+x+2r, 1000+x

2000+x, 1000+x+r, x+2r

1000+x+2r, x, 2000+x+r

Su cuadrado m¨¢gico asociado ser¨ªa:

n+1, n+8, n+3

n+6, n+4, n+2

n+5, n, n+7

Por ejemplo, los n¨²meros 1, 3 y 5 cumplir¨ªan la condici¨®n necesaria para construir un cuadrado alfa-m¨¢gico: est¨¢n en progresi¨®n aritm¨¦tica y la suma de sus letras son n¨²meros consecutivos. El cuadrado alfa-m¨¢gico ser¨ªa:

3, 2005, 1001

2001, 1003, 5

1005, 1, 2003

Su cuadrado m¨¢gico asociado ser¨ªa:

4, 11, 6

9, 7, 5

8, 3, 10

As¨ª pues, para construir un cuadrado alfam¨¢gico basta con encontrar tres n¨²meros en progresi¨®n aritm¨¦tica cuya suma de letras sea consecutiva:

Por ejemplo: 30,40, 50; la suma de sus letras ser¨ªa: 7, 8, 9.

Tambi¨¦n valdr¨ªan 31,41,51; 32, 42,52, etc.

Muchos participantes han usado un argumento similar, ayud¨¢ndose en ocasiones de Excel para conseguirlo. As¨ª, Jos¨¦ Manuel Sab¨¢s Vivas escribe el siguiente razonamiento:

Empec¨¦ listando en Excel los nombres de los n¨²meros 1 al 500, e intent¨¦ descubrir cuadrados m¨¢gicos especiales yendo del final hacia el principio. Primero busqu¨¦ cuadrados de n¨²meros consecutivos cuyas cifras ya fuesen los n¨²meros de letras de otros (entre 10 y 30), y a partir de ah¨ª trat¨¦ de hallar los n¨²meros originales. Por este camino no me fue nada bien.

A continuaci¨®n busqu¨¦ cuadrados m¨¢gicos finales formados por cifras que se diferenciasen en 2 unidades, tratando de encontrar de nuevo los cuadrados m¨¢gicos originales. Luego de 3 en 3 cifras. Pero nada de nada...

Pero finalmente me di cuenta que usando n¨²meros mucho m¨¢s grandes que empiecen por mil o por dos mil aparecen m¨¢s posibilidades de encontrar cuadrados para los que la suma de sus cifras se diferencien en 3. Por ejemplo, 25 tiene 11 letras, 1025 tiene 14 y 2025 tiene 17.

De esta manera obtuve ¨¦ste:

38, 2025, 1051

2051, 1038, 25

1025, 51, 2038

Su constante m¨¢gica es 3114

Si escribimos el n¨²mero de letras queda:

12, 17, 16

19, 15, 11

14, 13, 18

cuya constante m¨¢gica es 45

Curiosamente, si de este cuadrado hacemos otro formado por la suma de los d¨ªgitos, nos queda otro cuadrado m¨¢gico:

3, 8, 7

10, 6, 2

5, 4, 9

cuya constante m¨¢gica es 18.

Salvador Jover Sagarra bas¨¢ndose en el ejemplo inicial construye un sinf¨ªn de cuadrados alfam¨¢gicos:

1- El cuadrado m¨¢gico especial m¨¢s simple:

3, 2001 , 1005

2005, 1003, 1

1001, 5, 2003

2- Un cuadrado m¨¢gico especial con todos los n¨²meros m¨²ltiplos de 10:

30, 2020, 1040

2040, 1030, 20

1020, 40, 2030

3- Un cuadrado m¨¢gico especial utilizando la decena del once al veinte:

13, 2011, 1015

2015, 1013, 11

1011, 15, 2013

4- Un cuadrado m¨¢gico especial utilizando d¨ªgitos consecutivos:

5, 2004, 1006

2006, 1005, 4

1004, 6, 2005

5- Un cuadrado m¨¢gico especial con n¨²meros cuyas dos ¨²ltimas cifras son m¨²ltiplos de 7:

14, 2007, 1021

2021, 1014, 7

1007, 21, 2014

Y la sorpresa final es que he encontrado dos cuadrados m¨¢gicos superespeciales:

1?) Uno porque tanto con las cifras ar¨¢bigas como con n¨²meros romanos genera sendos cuadros m¨¢gicos.

2?) Y el otro es un cuadrado m¨¢gico elaborado a expensas de cuadrados m¨¢gicos especiales.

Algunos lectores han presentado programas inform¨¢ticos que generan cuadrados m¨¢gicos en castellano y otros idiomas. Por ejemplo Alfonso P¨¦rez Arnal, de Paterna (Valencia), nos presenta cuadrados alfam¨¢gicos en catal¨¢n, euskera, gallego y lat¨ªn basando su construcci¨®n en el ejemplo inicial.

El cuadrado alfam¨¢gico presentado por el ganador de este desaf¨ªo, Jos¨¦ Gayo Millares ha sido:

121, 155, 93

95, 123, 151

153. 91, 125

El pr¨®ximo jueves presentaremos un nuevo reto.

Un cuadrado m¨¢gico especial

Un cuadrado alfam¨¢gico