As¨ª se obtienen tres medias enteras
El ganador ha sido en esta ocasi¨®n Alberto Mu?oz Iborra, de X¨¤tiva (Valencia)
Ya hay soluci¨®n para el trig¨¦simo sexto desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola.
Pedro Carri¨®n Rodr¨ªguez de Guzm¨¢n, profesor en el IES Alc¨¢ntara de Alcantarilla (Murcia), propuso el problema, el primero de los "desaf¨ªos de los lectores" (ver v¨ªdeo de la izquierda), y lo resuelve ahora (v¨ªdeo de la derecha).
Para este desaf¨ªo se han recibido en el plazo marcado 540 respuestas, de las que un 50% eran totamente correctas. Un 37% adicional presentaban alguna imprecisi¨®n en la argumentaci¨®n pero, dado lo que se ped¨ªa en el desaf¨ªo, se han considerado v¨¢lidas y han entrado en el sorteo. El ganador de una biblioteca matem¨¢tica como la que entrega cada semana EL PA?S ha sido en esta ocasi¨®n Alberto Mu?oz Iborra, de X¨¤tiva (Valencia).
Recordemos que el desaf¨ªo consist¨ªa en encontrar el menor primo p mayor que 100 para el que existe otro n¨²mero entero distinto q, ¨¦ste no necesariamente primo, de manera que las medias aritm¨¦tica, geom¨¦trica y arm¨®nica de p y q sean n¨²meros naturales.
Antes de empezar a resolverlo vamos a recordar dos hechos sobre divisibilidad que se usar¨¢n en la resoluci¨®n.
El primero es que si p es un n¨²mero primo y p divide al producto mxn necesariamente p divide a m o a n.
El segundo hecho es que si m y n son dos n¨²meros primos entre s¨ª entonces si m divide a n x r necesariamente m divide a r.
Comencemos con la soluci¨®n:
Si G es la media geom¨¦trica de p y q se tiene que G^2=pq por lo que p divide a G^2 lo que implica que p divide a G. Por tanto podemos escribir G=py. Tenemos, pues, que (py)^2=pq y simplificando obtenemos que q=py^2 para alg¨²n entero y.
Si A es la media aritm¨¦tica de p y q tenemos que A=(p+q)/2 por lo que p+q=2A, es decir, p+py^2=2A, luego p x (1+y^2)=2A. Como 2A es par y p es impar concluimos que 1+y^2 es par por lo que y necesariamente es impar.
Por ¨²ltimo, si H es la media arm¨®nica de p y q tenemos que H=2pq/(p+q), es decir, H x (p+q)=2pq. Por tanto H x (p+py^2)=2p x py^2 y simplificando dividiendo por p se obtiene que H x (1+y^2)=2py^2.
Tenemos, pues, que 1+y^2 divide a 2py^2; por otra parte 1+y^2 e y^2 son n¨²meros consecutivos luego son primos entre s¨ª, Podemos concluir entonces que 1+y^2 divide a 2p.
Recordemos que 1+y^2 es par por lo que si 1+y^2 divide a 2p obtenemos que (1+y^2)/2 es divisor de p.
Pero p es primo, por lo que s¨®lo tiene dos divisores: 1 y p. Pero (1+y^2)/2 no puede ser 1 porque ello nos llevar¨ªa a que y=1 y, por tanto, a que p=q lo que no es posible porque exigimos que p y q fuesen distintos.
En definitiva, (1+y^2)/2=p. Si encontramos el menor y impar que haga que (1+y^2)/2 sea primo, tendremos resuelto el desaf¨ªo. Ello se obtiene para y=15 con lo que p=113 y q=25425.
Hay que se?alar que una cosa es encontrar el valor adecuado de p y otra distinta demostrar que ese valor es el m¨ªnimo. El uso de la fuerza bruta para hallar p y q no garantiza que p sea ese m¨ªnimo. Algunos lectores han desechado el primo 101 tras probar valores de q menores, por ejemplo, que 100.000, pero eso nunca garantizar¨ªa que 101 fuese el m¨ªnimo para un valor de q digamos superior a los mil trillones.
No obstante el m¨¦todo de la fuerza bruta si ayuda a encontrar una soluci¨®n, que es lo que se ped¨ªa, y, de hecho, la soluci¨®n correcta ha sido hallada a trav¨¦s de programas de ordenador en variados lenguajes y el uso de la hoja de c¨¢lculo.
La mayor¨ªa de las soluciones han seguido ideas muy parecidas a la demostraci¨®n del v¨ªdeo. Otros han optado por caminos diferentes, como Ana Isabel Navarro Garc¨ªa que halla un m¨¦todo para acotar y entre p+1 y 2p-1. De forma parecida Daniel Cabedo Sanch¨ªs o Alberto Aguirre usan una acotaci¨®n de los valores buscados y usando una hoja de c¨¢lculo de una manera eficiente encuentran el resultado correcto. Original ha sido el m¨¦todo de demostraci¨®n de algunos lectores, como Alejandro Calvo, que han usado la convergencia o la monoton¨ªa de una sucesi¨®n para acotar los posibles valores de la soluci¨®n.
Tambi¨¦n ha habido interesantes aportaciones. Jos¨¦ Gayo ha encontrado una soluci¨®n general donde no se exige que p sea primo. Alfoso P¨¦rez Arnal, adem¨¢s de encontrar una soluci¨®n original, ha proporcionado interesante informaci¨®n sobre los llamados n¨²meros centrados primos.
El jueves plantearemos un nuevo desaf¨ªo.
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